Hva er cosinussetningen?

Trekant med vinkler og sider

Cosinussetningen er den generelle formen av Pytagoras’ setning og kan brukes på alle trekanter. Du ser at dersom du setter $A = 90 °$ , så blir $- 2 b c \cdot \cos A = 0$ og du blir sittende igjen med Pytagoras’ setning.

Formel

Cosinussetningen

Gitt at $b$ og $c$ er lengdene som utspenner vinkel $∠ A$ , da har du at

\begin{align} a^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos A & (1) \\ \cos A & = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} & (2) \end{align}

Regel

Bruksområde

Du kan bruke cosinussetningen til

Å finne en side i trekanten dersom du kjenner to sider og en vinkel. Formel (1).
Å finne en vinkel dersom du kjenner alle de tre sidene. Formel (2).

Eksempel 1

Du har firkanten $□ A B C D$ der $A B = 12$ , $A D = 9$ , $∠ A = 120 °$ . Finn diagonalen $B D$ .

Først tegner du en hjelpetegning for å se hvordan dette ser ut.

To trekanter og firkant i samme figur

Nå ser du at dette passer med cosinussetning (1). Sett inn tallene og finn $B D$ . $\begin{array}{l} B D^{2} & = A B^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos 120 ° \\ = 1 2^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \cos 120 ° \\ = 144 + 81 - 216 \cdot (- 0, 5) \\ = 333 \\ B D & = \sqrt{333} \\ \approx 18, 25 . \end{array}$

Så $B D \approx 18, 25$ .

Eksempel 2

Du har trekanten $△ A B C$ der $A B = 7$ , $A C = 5$ og $B C = 10$ . Finn $∠ A$ .

Først tegner du en hjelpetegning for å se hvordan dette ser ut.

Trekant med sider 5, 7 og 10, og stump vinkel

Nå ser du at dette passer med cosinussetning (2). Sett inn tallene og finn $∠ A$ . $\begin{array}{l} \cos A & = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} \\ = \frac{7^{2} + 5^{2} - 1 0^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 5} \\ = \frac{49 + 25 - 100}{70} \\ = \frac{- 26}{70} \\ A & = \cos^{- 1} (\frac{- 13}{35}) \\ \approx 111, 8 ° . \end{array}$

Vinkelen $∠ A \approx 111, 8 °$ .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hva er sinussetningen?

Neste oppslag

Liste over trigonometriske identiteter

Tilbake