Hvordan løse trigonometriske grunnlikninger

Først omformer du likningen til en grunnlikning:

$$\begin{array}{llll}\hfill 4\cos \left(\pi x+\frac{2\pi }{3}\right)& =2,& \hfill & \\ \hfill \cos \left(\pi x+\frac{2\pi }{3}\right)& =\frac{1}{2}.& \hfill & \end{array}$$

Denne har løsningene

$$\begin{array}{lll}\hfill \pi x_1+\frac{2\pi }{3}& =\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi ,& \hfill \text{(1)}\\ \hfill \pi x_2+\frac{2\pi }{3}& =-\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi ,& \hfill \text{(2)}\end{array}$$

Du jobber først videre med (1):

$$\begin{array}{llll}\hfill \pi x_1+\frac{2\pi }{3}& =\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi & \hfill & \\ \hfill \pi x_1& =-\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi & \hfill & \\ \hfill x_1& =-\frac{1}{3}+2n& \hfill & \end{array}$$

Så jobber du med (2):

$$\begin{array}{llll}\hfill \pi x_2+\frac{2\pi }{3}& =-\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi & \hfill & \\ \hfill \pi x_2& =-\pi +n\cdot 2\pi & \hfill & \\ \hfill x_2& =-1+2n& \hfill & \end{array}$$

Oppgaven forteller at du skal finne alle løsningene som ligger på intervallet $x\in ⟨0,2\pi ⟩$. Disse finner du ved å vurdere $x_1$ og $x_2$ på intervallet.

Først ser du på $x_1=-\frac{1}{3}+2n$. Dersom du setter inn $n=1$ får du

$$x_1=-\frac{1}{3}+2\cdot 1=\frac{5}{3},$$

som er i intervallet. Når du tester $n=2$ får du at

$$x_1=-\frac{1}{3}+2\cdot 2=\frac{11}{3}\in ⟨0,2\pi ⟩.$$

Deretter tester du $n=3$:

$$x_1=-\frac{1}{3}+2\cdot 3=\frac{17}{3},$$

som ligger i intervallet. Du legger nå merke til at dersom du tester $n=4$, så vil svaret havne utenfor intervallet som strekker seg fra $⟨0,2\pi \approx 6,28⟩$. Du har dermed funnet løsningene fra $x_1$.

Du må nå gjøre det samme for $x_2=-1+2n$. Fremdeles må verdiene være på intervallet for at de skal være endel av løsningsmengden. Du får dermed:

$$\begin{array}{llll}\hfill n=1\Rightarrow x_2& =-1+2\cdot 1=1\in ⟨0,2\pi ⟩& \hfill & \\ \hfill n=2\Rightarrow x_2& =-1+2\cdot 2=3\in ⟨0,2\pi ⟩& \hfill & \\ \hfill n=3\Rightarrow x_2& =-1+2\cdot 3=5\in ⟨0,2\pi ⟩& \hfill & \\ \hfill n=4\Rightarrow x_2& =-1+2\cdot 4=7\notin ⟨0,2\pi ⟩& \hfill & \end{array}$$

Som du ser ligger den siste verdien utenfor intervallet. Løsningsmengden på intervallet $⟨0,2\pi ⟩$ blir dermed:

$$x\in \left\{1,\frac{5}{3},3,\frac{11}{3},5,\frac{17}{3}\right\}.$$

Grunnlikningen

$$\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$$

har løsningene

$$\begin{array}{lll}\hfill 2x_1-\frac{\pi }{3}& ={\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+n\cdot 2\pi ,& \hfill \text{(3)}\\ \hfill 2x_2-\frac{\pi }{3}& =\pi -{\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+n\cdot 2\pi .& \hfill \text{(4)}\end{array}$$

Først jobber du videre med (3):

$$\begin{array}{llll}\hfill 2x_1-\frac{\pi }{3}& =\frac{\pi }{6}+n\cdot 2\pi & \hfill & \\ \hfill 2x_1& =\frac{\pi }{2}+n\cdot 2\pi |:2& \hfill & \\ \hfill x_1& =\frac{\pi }{4}+n\cdot \pi & \hfill & \end{array}$$

Så jobber du med (4):

$$\begin{array}{llll}\hfill 2x_2-\frac{\pi }{3}& =\pi -\frac{\pi }{6}+n\cdot 2\pi & \hfill & \\ \hfill 2x_2& =\frac{7\pi }{6}+n\cdot 2\pi |:2& \hfill & \\ \hfill x& =\frac{7\pi }{12}+n\cdot \pi & \hfill & \end{array}$$

Du må nå finne løsningsmengden fra $x_1$ og $x_2$. Verdiene må være på intervallet $x\in [0,2\pi ⟩$ for at de skal være endel av løsningsmengden. For $x_1=\frac{\pi }{4}+2\pi$ har du:

$$\begin{array}{llll}\hfill n=0\Rightarrow x_1& =\frac{\pi }{4}+0=\frac{\pi }{4},& \hfill & \\ \hfill n=1\Rightarrow x_1& =\frac{\pi }{4}+1\pi =\frac{5\pi }{4},& \hfill & \\ \hfill n=2\Rightarrow x_1& =\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{9\pi }{4},& \hfill & \end{array}$$

der $\frac{9\pi }{4}$ ligger utenfor intervallet. Du tester derfor $x_2=\frac{7\pi }{12}+n\pi$:

$$\begin{array}{llll}\hfill n=0\Rightarrow x_2& =\frac{7\pi }{12}+0=\frac{7\pi }{12},& \hfill & \\ \hfill n=1\Rightarrow x_2& =\frac{7\pi }{12}+1\pi =\frac{19\pi }{12},& \hfill & \\ \hfill n=2\Rightarrow x_2& =\frac{7\pi }{12}+2\pi =\frac{31\pi }{12},& \hfill & \end{array}$$

der $\frac{31\pi }{12}$ ligger utenfor intervallet. Løsningsmengden på intervallet $[0,2\pi ⟩$ blir dermed:

$$x\in \left\{\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{12},\frac{5\pi }{4},\frac{19\pi }{12}\right\}.$$

Du løser den trigonometriske likingen for $x$:

Løsningen på likningen er $x=-\frac{7\pi }{36}+\frac{n\pi }{3}$ for alle $n\in \mathbb{Z}$. Ettersom $x$ i dette eksempelet kan være et hvilket som helst reelt tall ($x\in ℝ$), er det ikke et bestemt intervall du må sjekke $n$-verdier for. Dermed blir løsningen generell.