House of Math-logo

Vektorfunksjoner

Teori

Vektorfunksjoner

En vektorfunksjon er en funksjon der funksjonsuttrykket er skrevet som vektorkoordinater,

[x (t),y (t)].

x (t) er x-koordinaten skrevet som en funksjon av t og y (t) er y-koordinaten skrevet som en funksjon av t.

Et viktig bruksområde for vektorfunksjoner er posisjon, fart, akselerasjon og banefart. Sammenhengen mellom disse er de samme som du kjenner fra før, men nå skal du sette det inn i vektorverden. Banefarten kommer i tillegg og er lengden av fartsvektoren. Dersom du regner ut lengden av akselerasjonsvektoren finner du den faktiske akselerasjonen.

Teori

Vektorfunksjonene

Posisjonsvektoren:

r (t) = [x (t),y (t)]

Fartsvektoren:

v (t) = r (t) = [x (t),y (t)]

Banefarten:

|v (t)| = x (t ) 2 + y (t ) 2

Akselerasjonsvektoren:

a (t) = v (t) = r (t)

Akselerasjonen:

a = |a (t)| = x (t ) 2 + y (t ) 2

Eksempel 1

Gitt posisjonen r (t) = [t2, 2t2 t + 1] til et insekt som flyr bort fra en blomst. Da kan du finne fartsvektoren, banefarten, akselerasjonsvektoren og akselerasjonen for t = 2.

Du finner fartsvektoren ved å derivere retningsvektoren r (t). Da får du:

v (t) = [2t, 4t 1]

Du setter nå inn for t = 2 og får:

v(2) = [2 2, 4 2 1] = [4, 7]

Fra dette er det lett å finne banefarten, siden den er gitt ved lengden av fartsvektoren v (t). Du får dermed:

|v(2)| = | [4, 7]| = 42 + 72 = 16 + 49 = 65.

|v(2)| = | [4, 7]| = 42 + 72 = 16 + 49 = 65.

Akselerasjonen er den deriverte av fartsvektoren v (t). Når du deriverer denne vil du i dette tilfelle få en vektor uten variable. Dette betyr at akselerasjonen er konstant. Dermed får du at:
a (t) = [2, 4] ,

og den faktiske akselerasjonen er:

a = |a (2)| = 22 + 42 = 4 + 16 = 20.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Vektorlikninger