Як працюють арифметичні послідовності?

Послiдовнiсть — це впорядкована множина чисел. Їх можна записати у виглядi списку чисел, роздiлених комами, або зобразити у виглядi фiгур. Послiдовностi бувають двох типiв:

1.: Послiдовностi, що збiльшуються на постiйне число.
2.: Послiдовностi, що не збiльшуються на постiйне число.

Послiдовностi, що збiльшуються на постiйне число, мають власну круту назву: арифметичнi послiдовностi. Щойно ти збагнеш, що вiдбувається, то навчишся знаходити вираз для будь-якого члена в арифметичнiй послiдовностi. Послiдовнiсть

4, 7, 10, 13 \dots

є арифметичною, адже кожен її член збiльшується на $3$ . У послiдовностi

1, 3, 6, 10, 15, 21, \dots

члени не збiльшуються на те саме число, а отже, ця послiдовнiсть не є арифметичною. Вона вiдповiдає шаблону, але її члени не збiльшуються щоразу на те саме число.

Якщо ти знаєш, що послiдовнiсть є арифметичною, то можеш скласти вираз за наведеною далi схемою. Ми часто говоримо, що можемо знайти вираз $f_{n}$ для $n$ -го числа в послiдовностi. Це означає, що потрiбно скласти вираз, який допоможе знайти наступне число в послiдовностi.

Правило

Складання виразу для арифметичної послiдовностi

1.: З’ясуй, на скiльки збiльшується послiдовнiсть. Це спiльна рiзниця для послiдовностi, яку ми називаємо $d$ .
2.: Знайди перше число в послiдовностi — $f_{1}$ . Потiм вiднiми рiзницю вiд першого числа, щоб знайти постiйний член $b$ : $f_{1} - d = b$ .
3.: Запиши вираз у виглядi $f_{n} = d n + b$ .

Застосуймо цю схему для наведеної вище послiдовностi.

Приклад 1

Числа
$4, 7, 10, 13, \dots$

взятi з рисунка:

Склади вираз для знаходження $f_{n}$

Використовуємо схему вище, адже бачимо, що послiдовнiсть постiйно збiльшується на те саме число.

1.: Визначаємо, що послiдовнiсть щоразу збiльшується на $7 - 4 = 3$ . Отже, спiльна рiзниця — $3$ .
2.: Беремо перше число послiдовностi, $4$ , i вiднiмаємо вiд нього рiзницю, щоб знайти постiйний член. $b = 4 - 3 = 1$ .
3.: Отже, вираз для цiєї послiдовностi матиме вигляд $f_{n} = 3 n + 1$ .

Цей вираз має працювати так, щоб пiдставивши

1

замiсть

n

, ми отримали

4

, оскiльки

4

— це перше число в послiдовностi. Пiдставивши

n = 2

, ми маємо отримати

7

, адже

7

— це друге число в послiдовностi. Можна перевiрити вираз для чисел

3

4

\begin{array}{l} f_{3} & = 3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10 \\ f_{4} & = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13 \end{array}

Як бачиш, вираз працює як задумано, i його можна використовувати, щоб знайти набагато бiльшi числа в послiдовностi — наприклад, число для $n = 100$ :

f_{100} = 3 \cdot 100 + 1 = 301 .

Приклад 2

Знайди вираз для послiдовностi:

100, 95, 90, 85, 80, \dots

Замiсть того щоб збiльшуватися, ця послiдовнiсть зиеншується, а отже, спiльна рiзниця є вiд’ємним числом, а не додатним. Можемо перевiрити всi рiзницi:

\begin{array}{l} 100 - 95 & = 5 95 - 90 = 5 \\ 90 - 85 & = 5 85 - 80 = 5 \end{array}

Оскiльки кожен наступний член зменшується на $5$ , рiзниця дорiвнює $- 5$ , i послiдовнiсть є арифметичною. Перший член — це $100$ . Щоб знайти постiйний член, вiднiмаємо вiд першого члена рiзницю. Будьмо уважними, оскiльки рiзниця — вiд’ємне число!