Що таке ірраціональні рівняння?

Iррацiональнi рiвняння — це рiвняння, що мають змiнну $x$ у пiдкорiнному виразi. Цей тип рiвнянь може давати стороннi розв’язки, отже процес їх розв’язування передбачає перевiрку розв’язкiв.

Розв’язуємо рiвняння цього типу так:

Правило

Iррацiональнi рiвняння

1.: Переносимо квадратний корiнь окремо по один бiк рiвняння.
2.: Пiдносимо обидвi частини рiвняння до квадрата.
3.: Обчислюємо i розв’язуємо рiвняння як звичайно.
4.: Перевiряємо розв’язок рiвняння.

Перевiрка розв’язку рiвняння є складовою методу розв’язування рiвнянь цього типу. Часто буває, що рiвняння дає стороннi розв’язки. Саме на етапi «Перевiрка розв’язку» можна виявити та усунути цi стороннi розв’язки.

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння $x - \sqrt{x^{2} - 1} = 1$

\begin{array}{l} x - \sqrt{x^{2} - 1} & = 1 \\ - \sqrt{x^{2} - 1} & = 1 - x \\ x - 1 & = \sqrt{x^{2} - 1} \\ {(x - 1)}^{2} & = {\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} \\ x^{2} - 2 x + 1 & = x^{2} - 1 \\ - 2 x & = - 2 \\ x & = 1 \end{array}

Тепер перевiряємо розв’язок:

\begin{array}{l} Лiвий бiк & = 1 - \sqrt{1^{2} - 1} = 1 \\ Правий бiк & = 1 \end{array}

Оскiльки лiвий бiк $=$ правому боку, розв’язком є $x = 1$ .

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння $\sqrt{x + 1} = x - 3$

\begin{array}{l} \sqrt{x + 1} & = x - 3 \\ {\sqrt{x + 1}}^{2} & = {(x - 3)}^{2} \\ x + 1 & = x^{2} - 6 x + 9 \\ x^{2} - 7 x + 8 & = 0 \end{array}

Тепер розв’язуємо квадратний вираз за допомогою квадратної формули або шляхом перевiрки. Застосуємо квадратну формулу:

\begin{array}{l} x & = \frac{7 \pm \sqrt{{(7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (8)}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2} \\ = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}, \end{array}

Тодi можливими розв’язками є:

\begin{array}{l}  \end{array}

x = 7 + 17 2 ≈ 1.438 i x = 7 −17 2 ≈ 5.562

Тепер потрiбно перевiрити розв’язок, пiдставивши

x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2} \approx 1.438

(Якщо пiд час перевiрки розв’язкiв спостерiгається несуттєве вiдхилення десяткових дробiв, це можна пояснити округленням):

\begin{array}{l} Лiвий бiк & = \sqrt{1.438 + 1} = 1.561 \\ Правий бiк & = 1.438 - 3 = - 1.562 \end{array}

Оскiльки лiвий бiк $\neq$ правому боку, $x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2} \approx 1.438$ — це стороннiй розв’язок.

Тепер пiдставляємо

x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2} \approx 5.562

(Якщо пiд час перевiрки розв’язкiв спостерiгається несуттєве вiдхилення десяткових дробiв, це можна пояснити округленням).

\begin{array}{l} Лiвий бiк = \sqrt{5.562 + 1} = 2.562 \\ Правий бiк = 5.562 - 3 = 2.562 \end{array}

Оскiльки лiвий бiк $=$ правому боку, то $x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2} \approx 5.562$ є розв’язком.

Отже, розв’язком рiвняння є

x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2} \approx 5.562 .

Зверни увагу! Перевiрка вiдповiдi є складовою методу розв’язування, оскiльки пiднесення до квадрата iнодi може давати стороннi розв’язки.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Повернутися