Рівень виробництва з мінімальними витратами

Теорiя

Оптимальний рiвень виробництва (ОРВ)

Оптимальний рiвень виробництва – це значення $x$ , за якого вартiсть одиницi $U (x)$ найнижча. Це трапляється, якщо

U (x) = C^{'} (x)

Зверни увагу! ОРВ – це рiвень виробництва, за якого вартiсть одиницi найнижча, а отже, прибуток на одиницю найвищий. Це не обов’язково найвищий сукупний прибуток.

Теорiя

Тлумачення ОРВ

Якщо $C^{'} (x) > U (x)$ , витрати на виробництво додаткової одиницi, $C^{'} (x)$ , вищi за вартiсть одиницi $U (x)$ .
Якщо $C^{'} (x) < U (x)$ , витрати на виробництво додаткової одиницi, $C^{'} (x)$ , нижчi за витрати на одиницю $U (x)$ .
У точцi, в якiй $C^{'} (x) = U (x)$ , витрати на виробництво додаткової одиницi, $C^{'} (x)$ , дорiвнюють вартостi одиницi $U (x)$ . Саме в цiй точцi ми досягаємо оптимального рiвня виробництва.

Вартiсть одиницi та маржинальнi витрати на одному графiку

Приклад 1

Дано функцiю витрат

C (x) = 4 x^{2} + 8 x + 16 .

Знаходимо оптимальний рiвень виробництва (ОРВ). Якими будуть витрати за ОРВ?

Ми розумiємо, що досягли ОРВ, якщо $C^{'} (x) = U (x)$ . Отже, першим знаходимо $C^{'} (x)$ :

C^{'} (x) = 8 x + 8

Потiм знаходимо $U (x)$ :

\begin{array}{l} U (x) & = \frac{C (x)}{x} = \frac{4 x^{2} + 8 x + 16}{x} \\ = 4 x + 8 + \frac{16}{x} \end{array}

U (x) = \frac{C (x)}{x} = \frac{4 x^{2} + 8 x + 16}{x} = 4 x + 8 + \frac{16}{x}

Тепер задаємо цi значення рiвними одне одному, як у формулi, i знаходимо

x

\begin{array}{l} 8 x + 8 & = 4 x + 8 + \frac{16}{x} \\ 4 x & = \frac{16}{x} & | \cdot x \\ 4 x^{2} & = 16 & | : 4 \\ x^{2} & = 4 \\ x = 2 & \land x = - 2 \end{array}

Йдеться про виробництво, тому немає сенсу використовувати вiд’ємнi числа, адже неможливо виготовити вiд’ємну кiлькiсть одиниць. А отже, ОРВ дорiвнює 2.

Щоб знайти вартiсть за ОРВ, пiдставляємо значення $x$ замiсть ОРВ, $x = 2$ , у функцiю вартостi $C (x)$ :

\begin{array}{l} C (2) & = 4 {(2)}^{2} + 8 (2) + 16 \\ = 4 \cdot 4 + 16 + 16 \\ = 48 \end{array}

C (2) = 4 {(2)}^{2} + 8 (2) + 16 = 4 \cdot 4 + 16 + 16 = 48

Вартiсть

2

одиниць за ОРВ становить

48

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Маржинальний дохід, маржинальні витрати й маржинальний прибуток

Наступна стаття

Рівень виробництва з максимальною прибутковістю

Повернутися