Як обчислити об'єм призми та піраміди з векторами

Для знаходження об’єму квадратної призми (паралелепiпеда), пiрамiди або тетраедра (пiрамiди з трикутником в основi), натягнутих на три вектори, використовують векторний добуток i скалярний добуток. Для цього спочатку знаходимо векторний добуток двох векторiв, потiм знаходимо скалярний добуток цього векторного добутку й третього вектора i, нарештi, множимо отримане число на коефiцiєнт для фiгури, об’єм якої шукаємо.

Для квадратної призми не потрiбно нi на що множити. Для пiрамiди з квадратом в основi коефiцiєнт дорiвнює $\frac{1}{3}$ , а для тетраедра — $\frac{1}{6}$ . Зверни увагу! Iнодi ми отримуємо вiд’ємне число. Вiд’ємний об’єм не має сенсу, тому завжди використовуємо модуль розв’язку, наприклад $V = | - 14 | = 14$ .

Формула

Об’єм квадратної призми

V_{F} = | (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} |

Призма, натягнута на три вектори

Приклад 1

Знайди об’єм квадратної призми, натягнутої на вектори $(1, 3, - 2)$ , $(- 3, 2, 4)$ i $(1, 1, 1)$ .

Спершу знаходимо векторний добуток двох векторiв, а потiм скалярний добуток цього векторного добутку з третiм вектором. Векторний добуток перших двох векторiв дорiвнює

(16, 2, 11)

. Пiсля цього знаходимо скалярний добуток векторного добутку й вектора

(1, 1, 1)

(16, 2, 11) \cdot (1, 1, 1) = 16 + 2 + 11 = 29,

i отримуємо значення об’єму 29. Якби розв’язок був вiд’ємним, ми скористалися б модулем цього значення.

Формула

Об’єм пiрамiди

V_{P} = \frac{1}{3} | (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} |

Зверни увагу! Цю формулу можна застосовувати лише тодi, коли в основi пiрамiди лежить квадрат. Якщо в основi пiрамiди трикутник, то для цiєї фiгури, що називається тетраедром, застосовується власна формула.

Об’єм пiрамiди, натягнутої на три вектори