Як знайти відстань між двома площинами

Вектор нормалi до площини $\alpha$ дорiвнює ${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left(1,-3,2\right)$, а вектор нормалi до площини $\beta$ дорiвнює ${\overrightarrow{n}}_{\beta }=\left(1,-3,2\right)$. Цi вектори нормалей рiвнi, тобто паралельнi один одному. Тепер можемо знайти вiдстань мiж точкою на площинi $\beta$ й площиною $\alpha$.

1.

Знаходимо точку на площинi $\beta$, задавши двi змiннi рiвними $0$. У цьому випадку задаємо $y=0$ i $z=0$. Пiдставляємо їх у рiвняння $\beta$, отримавши $x=16$. Це означає, що $P=\left(0,0,16\right)$ — це точка на площинi $\beta$. Ми вже знаємо, що вектор нормалi до площини $\alpha$ дорiвнює ${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left(1,-3,2\right)$.

2.

Пiдставляємо цю iнформацiю у формулу, щоб знайти вiдстань мiж площинами $\alpha$ i $\beta$: $$\begin{array}{llll}\hfill D& =\frac{\left|1\cdot 0-3\cdot 0+2\cdot 16-9\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2+2^2}}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{\left|0+0+32-9\right|}{\sqrt{1+9+4}}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{\left|23\right|}{\sqrt{14}}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{23}{\sqrt{14}}.& \hfill & \end{array}$$