Як знайти відстань між прямою та площиною

Пряма l, паралельна площинi

Якщо пряма i площина не перетинаються, то завжди будуть паралельними одна однiй. Тобто вiдстань мiж прямою та площиною завжди залишається незмiнною. Щоб переконатися, чи паралельнi пряма й площина одна однiй, знаходимо скалярний добуток напрямного вектора прямої та вектора нормалi до площини. Якщо скалярний добуток дорiвнює нулю, то пряма не перетинає площину. Щоб знайти вiдстань мiж прямою та площиною, просто вибираємо точку на прямiй i застосовуємо рiвняння вiдстанi мiж точкою та площиною. Використовуємо такий метод:

Правило

Вiдстань мiж прямою та площиною

1.

Нехай

P = (x_{1}, y_{1}, z_{1})

— це точка на прямiй

l

, i нехай

a x + b y + c z + d = 0

— це рiвняння площини $α$ . Тодi ${\vec{n}}_{α} = (a, b, c)$ — це вектор нормалi до площини $α$ .

2.

Пiдстав значення у формулу вiдстанi вiд точки до площини, щоб знайти вiдстань.

Приклад 1

Дано пряму
$\begin{array}{l} l : x (t) & = 1 + t, \\ y (t) & = 3 t, \\ z (t) & = 1 + 4 t \end{array}$

$l : x (t) = 1 + t, y (t) = 3 t, z (t) = 1 + 4 t$

i площину
$α : x - 3 y + 2 z = 9 .$

Знайди вiдстань мiж ними.

1.: Якщо задати $t = 0$ , то отримаємо $P = (1, 0, 1)$ , яка є точкою на прямiй $l$ . Вектор нормалi до $α$ дорiвнює $\vec{n} = (1, - 3, 2)$ .
2.: Якщо пiдставити цi значення у формулу, отримаємо $\begin{array}{l} D & = \frac{| 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 9 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2} + 2^{2}}} \\ = \frac{| 1 + 0 + 2 - 9 |}{\sqrt{1 + 9 + 4}} \\ = \frac{| - 6 |}{\sqrt{14}} \\ = \frac{6}{\sqrt{14}} . \end{array}$

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як знайти відстань між точкою та площиною

Наступна стаття

Як знайти відстань між двома площинами

Повернутися