Диференціювання відстані для отримання швидкості та прискорення

Похiдна розкриває новий зв’язок мiж вiдстанню $s (t)$ , швидкiстю $v (t)$ та прискоренням $a (t)$ . Шляхом диференцiювання можна знайти вираз для знаходження швидкостi $v (t)$ та прискорення $a (t)$ за вiдстанню $s (t)$ . Зв’язок мiж ними можна описати так:

Правило

Вiдстань, швидкiсть та прискорення

Якщо дано положення (вiдстань) $s (t)$ , то отримуємо

\begin{array}{l} v (t) & = s^{'} (t), \\ a (t) & = v^{'} (t) = s^{″} (t) . \end{array}

Приклад 1

Лiтак летить iз Лондона до Нью-Йорка. Положення лiтака над Атлантикою визначається як

s (t) = - 8.27 t^{3} + 111.81 t^{2} + 302.82 t + 400.9,

де $t$ — кiлькiсть годин пiсля вiдправлення, а одиницею вимiрювання $s (t)$ є кiлометри.
1.
Яку вiдстань пролетiв лiтак через чотири години?
2.
Яка швидкiсть лiтака через чотири години?
3.
Знайди прискорення лiтака через чотири години.

1.: Пiдставляємо $t = 4$ в $s (t)$ :
$\begin{array}{l} s (4) & = - 8.27 \cdot 4^{3} + 111.81 \cdot 4^{2} + 302.82 \cdot 4 \\ + 400.9 \\ = 2871.86 \end{array}$

$\begin{array}{l} s (4) & = - 8.27 \cdot 4^{3} + 111.81 \cdot 4^{2} + 302.82 \cdot 4 + 400.9 \\ = 2871.86 \end{array}$
Через чотири години лiтак пролетiв $2871.86$ км.
2.: Щоб знайти швидкiсть лiтака через чотири години, потрiбно знайти швидкiсть $v (t)$ лiтака. Щоб знайти її, продиференцiюємо $s (t)$ : $\begin{array}{l} v (t) & = s^{'} (t) \\ = - 24.81 t^{2} + 223.62 t + 302.82 \\ v (4) & = s^{'} (4) \\ = - 24.81 \cdot 4^{2} + 223.62 \cdot 4 + 302.82 \\ = 800.34 \\ \approx 800 \end{array}$
Через чотири години швидкiсть лiтака становить $800$ км/год.
3.: Щоб з’ясувати прискорення через чотири години, потрiбно продиференцiювати функцiю швидкостi $v (t)$ . Отримуємо $\begin{array}{l} a (t) & = v^{'} (t) \\ = s^{″} (t) \\ = - 49.62 t + 223.62, \\ a (4) & = v^{'} (4) \\ = s^{″} (4) \\ = - 49.62 \cdot 4 + 223.62 \\ = 25.14 . \end{array}$
Через чотири години прискорення лiтака становить $25.14$ км/год². Це свiдчить про те, що лiтак прискорився через чотири години польоту.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як скласти діаграму знаків похідних функції

Повернутися