Що означає визначення похідної?

Похiдна функцiї $f (x)$ для $x = x_{1}$ — це число, яке вказує, наскiльки зростає (або спадає) графiк функцiї $f (x)$ , коли координата $x$ дорiвнює $x_{1}$ . Похiдну для $x = x_{1}$ записують як $f^{'} (x_{1})$ . Далi описано зв’язок мiж похiдною, миттєвою швидкiстю змiни та кутовим коефiцiєнтом дотичної до графiка $f (x)$ .

Теорiя

Похiдна, миттєва швидкiсть змiни та кутовий коефiцiєнт дотичної

\begin{array}{l} f^{'} (x_{1}) \\ = миттєва швидкiсть змiни для x_{1} \\ = кутовий коефiцiєнт дотичної до f (x) у точцi (x_{1}, f (x_{1})) . \end{array}

\begin{array}{l} f^{'} (x_{1}) & = миттєва швидкiсть змiни для x_{1} \\ = кутовий коефiцiєнт дотичної до f (x) в точцi (x_{1}, f (x_{1})) . \end{array}

Перш нiж прочитати пояснення нижче, потрiбно з’ясувати, що означає $Δ x$ i $x + Δ x$ ( $Δ x$ читається як «дельта $x$ »).

$Δ x$ означає «змiна значення $x$ », а отже, вiдповiдає вiдстанi мiж двома значеннями $x$ .
$x + Δ x$ означає вiдстань $Δ x$ вiд $x$ .

Пояснення похiдної

Поки читаєш, уважно придивись до рисункiв нижче.

Рисунок 1: Графiк функцiї синього кольору, сiчна — рожевого. Точки перетину —

(x, f (x))

(x + Δ x, f (x + Δ x))

Ми маємо функцiю

f (x)

(графiк синього кольору) i провели сiчну (лiнiя рожевого кольору) мiж точками

(x, f (x))

(x + Δ x, f (x + Δ x))

. Як ми вже з’ясували, кутовий коефiцiєнт рожевої лiнiї є середньою швидкiстю змiни функцiї мiж цими точками. Крiм того, ми з’ясували, що якщо цi точки лежать поруч, то середня швидкiсть змiни наближається до миттєвої швидкостi змiни.

Похiдна функцiї 2

Рисунок 2: Та сама ситуацiя, що й на попередньому рисунку. Втiм, тепер точка

(x + Δ x, f (x + Δ x))

ближча до

(x, f (x))

, а отже,

Δ x

є меншою.

Зменшуючи $Δ x$ , крайня права точка перетину $(x + Δ x, f (x + Δ x))$ наближається до крайньої лiвої точки перетину $(x, f (x))$ . Завдяки цьому вiдстань мiж $x$ i $x + Δ x$ , як i вiдстань мiж $f (x)$ i $f (x + Δ x)$ , скорочується. Кутовий коефiцiєнт сiчної поступово наближається до кутового коефiцiєнта дотичної функцiї в точцi $(x, f (x))$ .

Рисунок 3: Та сама ситуацiя, що й на двох попереднiх рисунках. Однак цього разу ми дали

Δ x

наблизитися до нуля, а рожева лiнiя тепер є дотичною до

f (x)

Коли вiдстань мiж двома точками перетину наблизиться до нуля, рожева лiнiя торкнеться

f (x)

у точцi

(x, f (x))

. Кутовий коефiцiєнт дотичної дорiвнює миттєвiй швидкостi змiни в цiй точцi.

Значення $x$ було довiльним. Це означає, що якщо ми сформулюємо свiй спосiб математично, то отримаємо нову функцiю для $f (x)$ для всiх значень $x$ . Саме це i є похiдна $f^{'} (x)$ функцiї.

Враховуючи те, що ви з’ясували про миттєву швидкiсть змiни та границi, отримаємо таке визначення похiдної:

Теорiя

Визначення похiдної

f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

Приклад 1

Дано $f (x) = x^{2}$ ; можна диференцiювати $f (x)$ за допомогою визначення:

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = \lim_{Δ x \to 0} \frac{{(x + Δ x)}^{2} - x^{2}}{Δ x} \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x) (x + Δ x) - x^{2}}{Δ x} \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x Δ x + {(Δ x)}^{2} - x^{2}}{Δ x} \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{2 x Δ x + {(Δ x)}^{2}}{Δ x} \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x (2 x + Δ x)}{Δ x} \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δx (2 x + Δ x)}{Δx} \\ = \lim_{Δ x \to 0} (2 x + Δ x) \\ = 2 x + 0 \\ = 2 x \end{array}

Диференцiювання функцiї за допомогою визначення похiдної виконується не часто. У бiльшостi випадкiв застосовуються правила диференцiювання.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Як визначити, чи є функція диференційовною?

Повернутися