Об’єм і площа поверхні об'ємних фігур

Об’ємнi фiгури

Найпоширенiшими об’ємними фiгурами є: призми, цилiндри, пiрамiди, конуси та сфери. Усi вони мають двi важливi властивостi: об’єм i площа поверхнi. Ось перелiк таких фiгур i їхнiх властивостей.

Призма

Призма та формули для обчислення

Приклад 1

Призма має в основi трикутник площею $B = 12 {см}^{2}$ . Висота призми становить $h = 5 см$ . Обчисли об’єм призми.

Обчислимо об’єм, помноживши площу основи $B$ на висоту $h$ :

Об’єм = B \cdot h = 12 {см}^{2} \cdot 5 см = 60 {см}^{3} .

Цилiндр

Формула площi поверхнi цилiндра

Приклад 2

Радiус цилiндра становить $r = 2.0 см$ , а висота $h = 8.0 см$ . Обчисли об’єм та площу поверхнi цилiндра.

Об’єм

Формула для обчислення об’єму цилiндра $V = B \cdot h$ . Маємо висоту $h$ , але потрiбно знайти площу основи $B$ . Оскiльки основою цилiндра є коло, потрiбно знайти площу кола:

B = π r^{2} = π \cdot 2.0 см \cdot 2.0 см \approx 12.6 {см}^{2} .

Тепер обчислимо об’єм цилiндра, помноживши площу основи на висоту $h$ :

\begin{array}{l} Об’єм & = B \cdot h \\ \approx 12.6 {см}^{2} \cdot 8.0 см \\ \approx 101 {см}^{3} . \end{array}

\begin{array}{l} Об’єм = B \cdot h \approx 12.6 {см}^{2} \cdot 8.0 см \approx 101 {см}^{3} . \end{array}

Площа поверхнi

Щоб знайти площу поверхнi цилiндра, потрiбно додати площi всiх сторiн. Зелений прямокутник, який зображено на рисунку, отримано шляхом розрiзування й складання стiнок цилiндра. Спершу обчислимо площу верхньої та нижньої основ цилiндра (вони мають однакову площу), а потiм площу прямокутника, який є бiчною поверхнею. Довжина прямокутника дорiвнює довжинi кола (див. рисунок):

\begin{array}{l} Площа круга & = π r^{2} \\ = π \cdot 2.0 см \cdot 2.0 см \\ \approx 12.6 {см}^{2}, \\ Площа прямокутника & = l \cdot h \\ = 2 π r \cdot h \\ = 2 \cdot π \cdot 2.0 см \cdot 8.0 см \\ \approx 101 {см}^{2} . \end{array}

Тодi площа поверхнi цилiндра становить

\begin{array}{l} Площа поверхнi & = 2 \cdot Площа круга \\ + Площа прямокутника \\ \approx 2 \cdot 12.6 {см}^{2} + 101 {см}^{2} \\ = 126.2 {см}^{2} . \end{array}

\begin{array}{l} Площа поверхнi & = 2 \cdot Площа круга + Площа прямокутника \\ \approx 2 \cdot 12.6 {см}^{2} + 101 {см}^{2} \\ = 126.2 {см}^{2} . \end{array}

Пiрамiда

Пiрамiда та формули для обчислення

Приклад 3

Пiрамiда має в основi трикутник площею $B = 9 {см}^{2}$ . Висота $h$ пiрамiди становить $4 см$ . Обчисли об’єм пiрамiди.

Знайдемо об’єм пiрамiди, помноживши площу основи $B$ на висоту $h$ та роздiливши на 3:

Volume = \frac{B \cdot h}{3} = \frac{9 {см}^{2} \cdot 4 см}{3} = 12 {см}^{3} .

Конус

Формула площi поверхнi конуса

Приклад 4

Конус має в основi коло радiусом $r = 3.0 см$ . Висота конуса $h$ становить $7.0 см$ , а сторона $s = 9.0 см$ . Обчисли об’єм i площу поверхнi конуса.