Що таке медіана згрупованих даних?

Тут ти дiзнаєшся, як знайти медiану згрупованих даних. У цьому випадку значення медiани можна знайти на графiку або виконавши розрахунок. Процедуру для обох способiв наведено нижче.

Знаходження медiани на графiку

Щоб знайти медiану згрупованих даних, потрiбно побудувати графiк, що вiдображає вiдносну накопичену частоту. Це можна зробити так:

Правило

Як побудувати графiк вiдносної накопиченої частоти

1.: За вiдсутностi таблицi з iнтервалами данi потрiбно згрупувати за iнтервалами. Якщо розмiри iнтервалiв не визначено умовою завдання, обери їх самостiйно. Подбай про те, щоб обранi тобою iнтервали вiдображали шукану iнформацiю. Ти зрозумiєш, що iнтервали правильнi, якщо зможеш вiдповiсти «так» на запитання «чи прийнятнi я обрав iнтервали?»
2.: Оскiльки ми маємо справу з вiдносною накопиченою частотою, то на осi $y$ будуть вiдкладенi десятковi числа вiд 0 до 1 або вiдсотки вiд $0$ % до $100$ %.
3.: Мiсцезнаходження першої точки на графiку обираємо iнакше, нiж для решти точок! Її значення на осi $x$ дорiвнює найнижчому значенню в першому iнтервалi, а значення на осi $y$ вiдповiдає $0$ %.
4.: Пiсля цього простав усi точки в системi координат i проведи мiж точками лiнiї.

Можна припустити, що значення згрупованих даних рiвномiрно розподiляються в межах кожного iнтервалу. Саме тому значення медiани згрупованих даних можна знайти на графiку, якщо нам вiдома вiдносна накопичена частота.

Правило

Медiана згрупованих даних: графiчне представлення

Медiану знаходимо в точцi, в якiй вiдносна накопичена частота проходить через $0.5$ або $50$ %.

Знаходження медiани шляхом розрахунку

Щоб розрахувати значення медiани, потрiбно знайти вираз для лiнiї мiж двома точками. Цi точки беремо з iнтервалу, в межах якого вiдносна накопичена частота проходить через точку $50$ %, i з iнтервалу, що йому передує. Це можна зробити так:

Правило

Медiана згрупованих даних: розрахунок

1.: Щоб знайти вираз для лiнiї $y = a x + b$ , потрiбно обрати точки, якi використовуватимуться для знаходження $a$ i $b$ .
2.: Значенням $x$ мають вiдповiдати найменшi й найбiльшi значення iнтервалу, який проходить через точку $50$ % або $0.5$ . Назвемо цi значення $x_{1}$ та $x_{2}$ , вiдповiдно.
3.: Назвемо вiдносну накопичену частоту iнтервалу, який проходить через точку $50$ %, $y_{2}$ , а вiдносну накопичену частоту iнтервалу, який йому передує, — $y_{1}$ .
4.: Знаходимо двi точки: $(x_{1}, y_{1})$ i $(x_{2}, y_{2})$ .
5.: Розрахуй $a$ за формулою для нахилу прямої лiнiї: $a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .
6.: Розрахуй $b$ за формулою $y = a x + b$ , пiдстав знайденi значення $a$ i $x$ та координати $y$ точки на лiнiї (доцiльно використовувати одну з точок, знайдених нами вище). Розв’яжи рiвняння для $b$ .
7.: Пiдстав знайденi значення $a$ i $b$ у вираз для прямої лiнiї $y = a x + b$ .
8.: Задай значення $y = a x + b = 0.5$ для десяткового числа i $50$ % для вiдсотка i розв’яжи рiвняння для $x$ .
9.: Отримане значення $x$ i буде медiаною.

Приклад 1

Нижче наведено таблицю, в якiй показано вiдносну накопичену частоту значень ваги немовлят.


Вага	Вiдносна накопичена частота

$[0 к г, 2.5 к г)$	$1.2$ %

$[2.5 к г, 3.0 к г)$	$9.4$ %

$[3.0 к г, 3.5 к г)$	$42.2$ %

$[3.5 к г, 4.0 к г)$	$78$ %

$[4.0 к г, 4.5 к г)$	$96$ %

$[4.5 к г, 5.0 к г)$	$99.6$ %

$[5.0 к г, 5.5 к г)$	$100$ %

З таблицi видно, що вiдносна накопичена частота проходить точку $50$ % у межах iнтервалу $[3.5 к г, 4.0 к г)$ . Це означає, що $x_{1} = 3.5$ , $x_{2} = 4.0$ , $y_{1} = 42.2$ i $y_{2} = 78$ . Так отримуємо точки $(3.5, 42.2)$ i $(4.0, 78)$ . Розрахуй $a$ , пiдставивши цi значення у формулу

a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{78 - 42.2}{4.0 - 3.5} = 71.6 .

Розрахуй $b$ , пiдставивши точку $(3.5, 42.2)$ i значення $a$ у вираз $y = a x + b$ : $\begin{array}{l} 42.2 & = 71.6 \cdot 3.5 + b \\ = 250.6 + b \\ b & = - 208.4 . \end{array}$

Отримаєш вираз для лiнiї:

y = 71.6 x - 208.4 .

Задай його рiвним $50$ (оскiльки нашi значення вираженi у вiдсотках) i розв’яжи рiвняння для $x$ : $\begin{array}{l} 71.6 x - 208.4 & = 50 \\ 71.6 x & = 258.9 \\ x & = 3.61 к г . \end{array}$

Отже, медiана заданих значень ваги новонароджених дорiвнює $3.61$ к г.

Графiк iз мiсцезнаходженням медiани на функцiї розподiлу

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як знайти медіану в частотній таблиці?

Повернутися