Як обчислювати амортизаційні кредити за допомогою формул рядів

Теорiя

Амортизацiйнi кредити

Амортизацiйний кредит — це кредит, мiсячна ставка за яким щомiсяця є рiзною. Мiсячна ставка складається iз суми основного платежу та суми вiдсоткiв. У амортизацiйному кредитi сума основного платежу є фiксованою, а сума вiдсоткiв щомiсяця зменшується, адже кожного наступного мiсяця ми виннi банку менше, нiж попереднього мiсяця.

Дiаграма, на якiй показано першi 10 часткових платежiв за амортизацiйним кредитом

Оскiльки на початку ми виннi банку бiльше грошей, нiж на пiзнiх строках, сума вiдсоткiв буде вищою на раннiх строках та знижуватиметься в мiру наближення кiнцевого термiну погашення. Основний платiж лишається незмiнним, а от мiсячна ставка на початку строку погашення кредиту буде вищою, нiж наприкiнцi цього строку.

Амортизацiйний кредит загалом дешевший, нiж кредит iз ануїтетною схемою погашення, адже загальна сума вiдсоткiв за кредитом iз ануїтетною схемою вища, нiж за амортизацiйним кредитом — навiть якщо врахувати iнфляцiю (за умови, що вона не зависока).

Для обчислення непогашеного залишку кредиту за рiк можна використовувати арифметичний ряд.

Приклад 1

Ти береш кредит на суму $150 000 $$ , який плануєш повернути протягом 20 рокiв. Вiдсоткова ставка за кредитом становить $5 %$ . Сума непогашеного залишку кредиту за перших чотири роки становила $150 000$ , $142 500$ , $135 000$ i $127 500$ . Назви суму непогашеного залишку кредиту через 13 рокiв. Яку загальну суму вiдсоткiв тобi доведеться заплатити?

Непогашенi залишки кредиту можна виразити у виглядi ряду; кожен непогашений залишок за рiк є членом цього ряду.

\begin{array}{l} 150 000 + 142 500 + 135 000 \\ + 127 500 + \dots \end{array}

150 000 + 142 500 + 135 000 + 127 500 + \dots

Щоб визначити непогашений залишок за рiк

n

, потрiбно знайти

a_{n}

. Оскiльки ми маємо справу з арифметичним рядом, то можемо скористатися формулою знаходження

n

-го члена арифметичного ряду:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

. Для цього насамперед потрiбно знайти

d

\begin{array}{l} d & = a_{n + 1} - a_{n} = 142 500 - 150 000 \\ = - 7500 \end{array}

d = a_{n + 1} - a_{n} = 142 500 - 150 000 = - 7500

Пiсля цього знаходимо вираз для

a_{n}

\begin{array}{l} a_{n} & = 150 000 + (n - 1) (- 7500) \\ = 157 500 - 7500 n \end{array}

Щоб знайти непогашений залишок кредиту через 13 рокiв, пiдставляємо $n = 13$ у вираз для знаходження $a_{n}$ :

a_{13} = 157 500 - 7500 \cdot 13 = 60 000

Щоб дiзнатися загальну суму сплачених вiдсоткiв за кредитом, можна перевiрити кожен окремий непогашений залишок. Якщо знайти витрати на погашення вiдсоткiв за кожним непогашеним залишком i скласти їх разом, знайдемо загальну суму сплачених нами вiдсоткiв. Так отримаємо новий арифметичний ряд, у якому вiдсоток за першим непогашеним залишком $r_{1} = 150 000 \cdot 0.05$ , вiдсоток за другим непогашеним залишком $r_{2} = 142 500 \cdot 0.05$ , а вiдсоток за $n$ -м непогашеним залишком $r_{n} = a_{n} \cdot 0.05$

Цей новий арифметичний ряд матиме такий вигляд:

7500 + 7125 + 6750 + \dots + r_{n}

Оскiльки кредит виплачується протягом 20 рокiв, потрiбно знайти витрати на погашення для 20 членiв ряду. Використовуємо формулу суми арифметичного ряду:

S_{n} = \frac{r_{1} + r_{n}}{2} \cdot n

Як вiдомо, $r_{1} = 7500$ , а $n = 20$ . Потрiбно знайти

r_{20} = a_{20} \cdot 0.05 .

Спершу знаходимо $a_{20}$ :

a_{20} = 157 500 - 7500 \cdot 20 = 7500

Потiм знаходимо $r_{20}$ :

r_{20} = a_{20} \cdot 0.05 = 7500 \cdot 0.05 = 375

Отримуємо загальну суму сплачених вiдсоткiв:

S_{20} = \frac{(7500 + 375)}{2} \cdot 20 = 78 750 .

Загальна сума вiдсоткiв за кредитом у розмiрi $150 000$ $ iз вiдсотковою ставкою $5$ % становить $78 750$ $, за умови, що кредит має бути погашений протягом 20 рокiв.

Загальна сума, яку потрiбно погасити протягом 20 рокiв, становить

150 000 $ + 78 750 $ = 228 750 $

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке арифметичний ряд?

Наступна стаття

Формули для геометричних рядів

Повернутися