Формули для геометричних рядів

Геометричний ряд — це ряд, у якому наступний член можна знайти шляхом множення попереднього члена на постiйне спiввiдношення $k$ . Геометричнi ряди можна використовувати для моделювання рiзноманiтних ситуацiй, вiд розвитку бактерiальної культури до обчислення кредитiв та заощаджень. Усе про будь-який геометричний ряд можна з’ясувати за допомогою трьох формул:

Формула

Геометричний ряд

Знаходження спiввiдношення в рядi:

k = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

Знаходження $n$ -го члена ряду:

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}

Знаходження суми ряду:

S_{n} = a_{1} \frac{k^{n} - 1}{k - 1} для k \neq 1

Якщо $k = 1$ , то для знаходження суми використовується така формула:

S_{n} = a_{1} \cdot n

Приклад 1

Дано геометричний ряд

$3 + 9 + 27 + 81 + \dots .$

Знайди спiввiдношення, вираз для знаходження $n$ -го члена i суму перших 10 членiв.

У задачах цього типу просто пiдставляємо значення у формули. Спiввiдношення $k$ становить:

k = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{9}{3} = 3 .

Вираз для знаходження $n$ -го члена має такий вигляд:

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1} = 3 \cdot 3^{n - 1} = 3^{n} .

А отже, суму перших 10 членiв знаходимо так:

S_{10} = 3 \cdot \frac{3^{10} - 1}{3 - 1} = 88 572 .

Приклад 2

Знайди $a_{1}$ i $k$ , якщо вiдомо, що $a_{3} = 4$ i $a_{5} = 16$ — це два члени геометричного ряду, що зростає.

Якщо дано два рiзнi члени, доцiльно розв’язувати задачу як рiвняння з двома невiдомими. Як вiдомо, формула знаходження довiльного члена геометричного ряду має вигляд $a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$ . Отримуємо

\begin{array}{l} a_{3} & = 4 \\ a_{1} \cdot k^{3 - 1} & = 4 \\ a_{1} \cdot k^{2} & = 4 \\ a_{1} & = \frac{4}{k^{2}} \\ a_{5} & = 16 \\ a_{1} \cdot k^{5 - 1} & = 16 \\ a_{1} \cdot k^{4} & = 16, a_{1} = \frac{4}{k^{2}} \\ \Rightarrow (\frac{4}{k^{2}}) \cdot k^{4} & = 16 \\ 4 k^{2} & = 16 | : 4 \\ k^{2} & = 4 \\ k & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ \Rightarrow a_{1} & = \frac{4}{{(\pm 2)}^{2}} = 1 . \end{array}

\begin{array}{l} a_{3} & = 4 & a_{5} & = 16 \\ a_{1} \cdot k^{3 - 1} & = 4 & a_{1} \cdot k^{5 - 1} & = 16 \\ a_{1} \cdot k^{2} & = 4 & a_{1} \cdot k^{4} & = 16 \\ a_{1} & = \frac{4}{k^{2}} & (\frac{4}{k^{2}}) \cdot k^{4} & = 16 \\ 4 k^{2} & = 16 | : 4 \\ k^{2} & = 4 \\ k & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ a_{1} & = \frac{4}{{(\pm 2)}^{2}} = 1 . \end{array}

Оскiльки вiдомо, що ряд зростає,

k = - 2

не може бути правильним спiввiдношенням, а отже, це хибний розв’язок. Так отримуємо

a_{1} = 1

k = 2

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як обчислювати амортизаційні кредити за допомогою формул рядів

Наступна стаття

Нескінченний геометричний ряд і збіжність

Повернутися