Перетин дотичної площини зі сферою

Коли сфера перетинається з площиною, перетин можна описати як точку або як коло. У цiй статтi описується випадок, коли перетин вiдбувається в однiй точцi. Щоб дiзнатися про перетин по колу, клацни тут.

Якщо перетин мiж дотичною площиною та поверхнею сфери є точкою, ми називаємо цю точку точкою дотику. Щоб знайти її, виконуємо такi дiї:

Як бачимо, вектор, проведений вiд центра сфери до точки дотику, має бути перпендикулярним до дотичної площини, тому що кут мiж дотичною та прямою, проведеною з точки дотику до центру сфери, завжди дорiвнює $90$ °. А отже, цей вектор парелельний вектору нормалi до дотичної площини, i через точку дотику та центр сфери можна провести пряму з вектором нормалi як напрямним вектором. Щоб знайти точку дотику, шукаємо перетин мiж прямою та дотичною площиною.

Сфера, яку перетинає дотична площина

Приклад 1

Дано сферичну поверхню з центром у $(1, 1, 2)$ i дотичну площину, задану рiвнянням

x + 2 y = 0 .

Знайди точку дотику.

Як бачимо, $(1, 2, 0)$ — це вектор нормалi до площини. Це означає, що параметричне рiвняння для прямої, яка проходить через центр, iз вектором нормалi як напрямним вектором має вигляд

x (t) = 1 + t, y (t) = 1 + 2 t, z (t) = 2 .

x (t) = 1 + t, y (t) = 1 + 2 t, z (t) = 2 .

Пiдставляємо цi данi у рiвняння для знаходження дотичної площини. Отримуємо

\begin{array}{l} (1 + t) + 2 (1 + 2 t) & = 0 \\ 3 + 5 t & = 0 \\ t & = - \frac{3}{5} . \end{array}

Пiдставляємо це значення замiсть $t$ у параметричному рiвняннi. Отримуємо

(1 + \frac{- 3}{5}, 1 + 2 \frac{- 3}{5}, 2) = (\frac{2}{5}, - \frac{1}{5}, 2) .

Ця точка є точкою перетину мiж прямою, що проходить через центр, i дотичною площиною, що також робить її точкою дотику.

Формула

Точка дотику сферичної поверхнi i площини

Точка дотику $T$ , в якiй площина з вектором нормалi $\vec{n}$ перетинає сферу з радiусом $r$ i центром $C$ , задана виразом

\vec{O T} = \vec{O C} + r \cdot \frac{1}{| \vec{n} |} \cdot \vec{n} .

Приклад 2

Вiд нас часто вимагатимуть показати, що площина дотична до сферичної поверхнi, i знайти точку дотику. Площина є дотичною до сферичної поверхнi, якщо вiдстань вiд центра $c$ сфери до площини $α$ дорiвнює радiусу сфери.

Скажiмо, в нас є сфера

{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 9

i площина

2 x + y - 2 z + 4 = 0 .

З рiвняння сфери бачимо, що радiус дорiвнює $r = \sqrt{9} = 3$ , а центр знаходиться в точцi $(2, 1, 0)$ . Щоб показати, що площина є дотичною до поверхнi сфери, використовуємо формулу вiдстанi мiж точкою та площиною, i перевiряємо, чи вiдповiдь дорiвнює радiусу сфери, який, як ми знаємо, дорiвнює $3$ : $\begin{array}{l} \frac{| 2 (2) + 1 \cdot 1 - 2 (0) + 4 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}} & = \frac{| 4 + 1 + 0 + 4 |}{\sqrt{9}} \\ = \frac{| 9 |}{3} \\ = 3 \end{array}$

Щоб знайти точку дотику сферичної поверхнi та площини, виконуємо дiї, як у попередньому прикладi (Приклад 1). Також можна скористатися наведеною вище формулою для знаходження точки дотику сферичної поверхнi та площини.

Зверни увагу! В цьому випадку вектор нормалi може завести нас у хибному напрямку, i ми опинимося з протилежного боку сфери. Тому перевiряємо, чи лежить наша вiдповiдь у дотичнiй площинi. Якщо нi, то просто змiнюємо $\vec{n}$ на $- \vec{n}$ . Тодi радiус сфери та вiдстань мiж центром i площиною сфери будуть однаковими, а отже,

(2, 1, 0) + 3 \frac{1}{3} (2, 1, - 2) = (4, 2, - 2) .

Пiдставляємо цi значення в рiвняння дотичної площини, щоб перевiрити, чи у правильному напрямку ми рухаємося. Отримуємо

\begin{array}{l} 2 x + y - 2 z + 4 & = 2 \cdot 4 + 1 \cdot 2 \\ - 2 \cdot (- 2) + 4 \\ = 8 + 2 + 4 + 4 \\ = 18 \\ \neq 0 . \end{array}

\begin{array}{l} 2 x + y - 2 z + 4 & = 2 \cdot 4 + 1 \cdot 2 - 2 \cdot (- 2) + 4 \\ = 8 + 2 + 4 + 4 \\ = 18 \\ \neq 0 . \end{array}

Як бачимо, це не задовольняє рiвнянню площини, а це означає, що вектор нормалi скерував нас у хибному напрямку. Якщо змiнити знак перед вектором нормалi, то отримаємо

(2, 1, 0) - 3 \frac{1}{3} (2, 1, - 2) = (0, 0, 2) .

Пiдставляємо цi значення у рiвняння площини. Отримуємо

\begin{array}{l} 2 x + y - 2 z + 4 & = 2 \cdot 0 + 0 - 2 \cdot 2 + 4 \\ = - 4 + 4 \\ = 0 . \end{array}

2 x + y - 2 z + 4 = 2 \cdot 0 + 0 - 2 \cdot 2 + 4 = - 4 + 4 = 0 .

Тодi

\vec{O T} = (0, 0, 2)

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як знайти лінію перетину між двома площинами

Наступна стаття

Перетин площини та сфери

Повернутися