Яке рівняння еліпса?

Елiпс з фокальною точкою та осями

Теорiя

Елiпс

Елiпс складається з усiх точок, що знаходяться на однаковiй загальнiй вiдстанi до двох заданих точок, якi називаються фокальними точками.

Для опису елiпса важливо знати такi вiдстанi:

Мала пiввiсь —

це найкоротша вiдстань вiд центру елiпса до будь-якої точки на елiпсi.

Велика пiввiсь —

це найдовша вiдстань вiд центру елiпса до будь-якої точки на елiпсi.

Правило

Стандартне рiвняння елiпса

Якщо обидвi фокальнi точки елiпса лежать на осi x, рiвновiддаленiй вiд початку координат, i назвемо велику пiввiсь a й малу пiввiсь b, стандартне рiвняння для елiпса має такий вигляд

x2 a2 + y2 b2 = 1.

Коло — це окремий випадок елiпса, в якого фокальнi точки збiгаються.

Приклад 1

Знайди стандартне рiвняння елiпса з великою пiввiссю a = 5 та малою пiввiссю b = 3

x2 52 + y2 32 = 1 x2 25 + y2 9 = 1

Приклад 2

Доведи, що 9x2 + 4y2 36 = 0 — це рiвняння елiпса.

Щоб довести, що це рiвняння описує елiпс, потрiбно перетворити його у форму стандартного рiвняння елiпса. Це можна зробити так:

9x2 + 4y2 36 = 0 9x2 + 4y2 = 36 | : 9 x2 + 4y2 9 = 4 | : 4 x2 4 + y2 9 = 1

Оскiльки ми змогли перетворити цей вираз у форму стандартного рiвняння елiпса, то довели, що 9x2 + 4y2 36 = 0 це елiпс iз малою пiввiссю a = 4 = 2 та великою пiввiссю b = 9 = 3.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!