Що таке рівняння кола?

Коло радiусом r

Правило

Коло

Рiвняння кола з центром у точцi $(x_{0}, y_{0})$ i радiусом $r$ має вигляд

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2} .

Це означає, що всi значення $(x, y)$ , що задовольняють рiвняння, знаходяться на колi.

Щоб знайти радiус кола, можна використати таку формулу:

r = \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}

Приклад 1

Дано коло з центром у точцi $(- 1, 2)$ . Точка $(3, 5)$ знаходиться на колi. Який радiус цього кола??

Тут координати центру кола $(x_{0}, y_{0}) = (- 1, 2)$ , а точки на колi — $(x, y) = (3, 5)$ . Отже, радiус кола дорiвнює

r = \sqrt{{(3 + 1)}^{2} + {(5 - 2)}^{2}} = 5 .

Приклад 2

Доведи, що $x^{2} + 6 x + y^{2} - 2 y - 6 = 0$ є колом

Щоб довести це, необхiдно використати метод видiлення повного квадрата. Додамо та вiднiмемо ${(\frac{b}{2})}^{2}$ як для iксiв $x$ , так i для iгрекiв $y$ . Отримаємо таке:

\begin{array}{l} 0 & = x^{2} + 6 x + y^{2} - 2 y - 6, \\ = x^{2} + 6 x + {(\frac{6}{2})}^{2} - {(\frac{6}{2})}^{2} \\ + y^{2} - 2 y + {(\frac{- 2}{2})}^{2} - {(\frac{- 2}{2})}^{2} - 6, \\ = x^{2} + 6 x + 9 - 9 + y^{2} - 2 y + 1 - 1 - 6, \\ = {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 9 - 1 - 6, \\ = {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 16 . \end{array}

\begin{array}{l} 0 & = x^{2} + 6 x + y^{2} - 2 y - 6, \\ = x^{2} + 6 x + {(\frac{6}{2})}^{2} - {(\frac{6}{2})}^{2} + y^{2} - 2 y + {(\frac{- 2}{2})}^{2} - {(\frac{- 2}{2})}^{2} - 6, \\ = x^{2} + 6 x + 9 - 9 + y^{2} - 2 y + 1 - 1 - 6, \\ = {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 9 - 1 - 6, \\ = {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 16 . \end{array}

Отже,

{(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4^{2} .

Звiдси видно, що $x^{2} + 6 x + y^{2} - 2 y - 6 = 0$ — це коло з центром у точцi $(- 3, 1)$ i радiусом $r = 4$ .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке осі симетрії в колі?

Наступна стаття

Що стверджує теорема Фалеса?

Повернутися