Перевірка гіпотез у межах біноміального розподілу

Перевiрка гiпотез має на метi порiвняльну перевiрку рiзних результатiв. Отже, результат порiвнюється зi значеннями, якi вважаються iстинними. Пiд час перевiрки гiпотези ми визначаємо, чи здатна нова альтернативна гiпотеза $H_{A}$ вiдкинути й замiнити наявну нульову гiпотезу $H_{0}$ . Перевiрка гiпотези може бути односторонньою або двосторонньою. Пiд час односторонньої перевiрки альтернативна гiпотеза є лiвобiчною з $p < p_{0}$ або правобiчною з $p > p_{0}$ . Пiд час двосторонньої перевiрки альтернативна гiпотеза $p \neq p_{0}$ . В усiх трьох випадках $p_{0}$ — це вже наявна ймовiрнiсть, iз якою ми порiвнюємо, а $p$ — це ймовiрнiсть, яку ми шукаємо.

Зверни увагу! Пiд час перевiрки гiпотез ми розраховуємо альтернативну гiпотезу, яка говорила б щось про нульову гiпотезу.

Правило

Перевiрка гiпотез iз бiномiальним розподiлом

1.: Формулюємо нульову та альтернативну гiпотези. $H_{0} : p = p_{0}$ порiвняно з $H_{a} : p > p_{0}$ (можливо $H_{a} : p < p_{0}$ або $H_{a} : p \neq p_{0}$ ).
Наприклад, можуть бути причини вважати, що за високого спостережуваного значення $p$ альтернативна гiпотеза $H_{a} : p > p_{0}$ видається правдивою.
2.: Тодi проводимо експеримент i з’ясовуємо, що подiя трапилася $k$ разiв.
3.: Розраховуємо ймовiрнiсть того, що $X \geq k$ (iмовiрно $X \leq k$ ), за умови, що $p = p_{0}$ .
4.: Якщо ця ймовiрнiсть менша нiж $1$ %, $5$ % або $10$ %, то вiдкидаємо $H_{0}$ , залежно вiд вибраного рiвня значущостi.

Приклад 1

На ринку є лiкарський засiб, який, як вiдомо, вилiковує $85 %$ усiх пацiєнтiв. Компанiя представила новий засiб, який, на її думку, кращий нiж той, що вже є на ринку. Новий лiкарський засiб вилiкував 92 зi 103 пацiєнтiв. Дiзнаємось, чи справдi новий лiкарський засiб кращий за попереднiй.

Це класичний випадок перевiрки гiпотези за допомогою бiномiального розподiлу. Потрiбно дотримуватися вказiвок вище, щоб розв’язати завдання i вибрати $5$ % рiвень значущостi, оскiльки тут не йдеться про лiкарський засiб вiд тяжких захворювань.

1.

Нульова гiпотеза полягає в тому, що новий лiкарський засiб гiрший або такий самий, як i старий:

p = 0.85 .

Альтернативна гiпотеза в цьому разi полягає в тому, що новий лiкарський засiб кращий. Причина в тому, що нам потрiбно лише знати, чи збираємось ми схвалити його для продажу, а отже, новий лiкарський засiб має бути кращим:

p > 0.85 .

2.

Як бачимо, подiя трапляється 92 рази, оскiльки новий засiб вилiкував 92 зi 103 пацiєнтiв.

3.

Пiсля цього розраховуємо ймовiрнiсть принаймнi одного однаково високого спостереження у цифровому iнструментi розподiлу ймовiрностей:

\begin{array}{l} P (X \geq 92) & = 1 - P (X \leq 91) \\ = 0.136 \end{array}

\begin{array}{l} P (X \geq 92) = 1 - P (X \leq 91) = 0.136 \end{array}

Цей вiдсоток вказує, що iснує ймовiрнiсть

13.6

%, що понад 92 пацiєнти можна вилiкувати старим лiкарьким засобом.

4.

Вирiшуємо, що якщо старий лiкарський засiб потрiбно замiнити, то значення

p

має бути меншим нiж

5

%. Отже, має iснувати ймовiрнiсть менше

5

% того, що

H_{0}

буде вiдкинуто, якщо новий лiкарський засiб виявиться не кращим, нiж старий. Значення

p

вiдповiдає

p = 13.6 % > 5 %,

$H_{0}$ не можна вiдкинути, а новий лiкарський засiб не вийде на ринок.

Якби значення $p$ було меншим, нiж рiвень значущостi, це означало б, що новий лiкарський засiб, представлений альтернативною гiпотезою, кращий, i що ми впевненi в цьому зi статистичною значущiстю.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Перевірка гіпотез у межах нормального розподілу

Повернутися