Перевірка гіпотез у межах нормального розподілу

Це типовий випадок перевiрки гiпотези в межах нормального розподiлу. Дотримуючись вказiвок вище, вибери рiвень значущостi $10$ %, оскiльки йдеться про кiлькiсть газованої води, а не про справу життя та смертi.

1.

Нульова гiпотеза полягає в тому, що кожна пляшка мiстить $0.5$ л:

$${\mu }_0=0.5.$$

Альтернативна гiпотеза в цьому випадку полягає в тому, що пляшки не мiстять $0.5$ л i що обладнання лiнiї розливу недостатньо вiдкалiброване. Отже, перевiрка гiпотези є двосторонньою, а тому потрiбно помножити значення $p$ на 2, а вже потiм визначати, чи перебуває значення $p$ в межах критичного дiапазону. Причина в тому, що нормальний розподiл є симетричним, тож $P\left(X\ge k\right)=P\left(X\le -k\right)$. А отже, ми з однаковою ймовiрнiстю можемо спостерiгати екстремально високе й екстремально низьке значення:

$${\mu }_0\ne 0.5.$$

2.

Знаходимо значення $p$, обчисливши $P\left(\stackrel{}{X}\ge 0.48\right)$: $$\begin{array}{llll}\hfill P\left(\stackrel{}{X}\le 0.48\right)& =P\left(Z\le \genfrac{}{}{1.0pt}{}{0.48-0.5}{\frac{0.1}{\sqrt{48}}}\right)& \hfill & \\ \hfill & =P\left(Z\le -1.39\right)& \hfill & \\ \hfill & =0.0823& \hfill & \\ \hfill & \Updownarrow & \hfill & \\ \hfill p& =0.0823\cdot 2& \hfill & \\ \hfill & =0.1646& \hfill & \\ \hfill & =16.46\text{\%}.& \hfill & \end{array}$$

3.

Було визначено, що для того, щоб обладнання довелося повторно вiдкалiбрувати, значення $p$ має бути меншим нiж $10$ %. Отже, ймовiрнiсть того, що обладнання в середньому наповнює пляшки до $0.5$ л, має становити менше $10$ %. Значення $p$ становить

$$p=16.46\text{\%}>10\text{\%},$$

тож $H_0$ не вiдкидається й обладнання калiбрувати не потрiбно.

Якби значення $p$ було меншим за рiвень значущостi, то це означало б, що для бiзнесу значно краще виконати повторне калiбрування, про яке йдеться в альтернативнiй гiпотезi.