Що таке гіпергеометричний розподіл імовірностей?

Правило

Критерiї застосування гiпергеометричного розподiлу

Випадкова величина $X$ гiпергеометрично розподiлена, якщо вона вiдповiдає таким критерiям:

Ми вiдбираємо випадковий елемент iз сукупностi, подiленої на двi чи бiльше груп: група $A$ , група $B$ , група $C$ i т. д.
Ми вiдбираємо $r$ елементiв, розподiлених мiж цими групами, не замiнюючи жодного з них.
$X$ — це кiлькiсть елементiв, вiдiбраних iз рiзних груп.

Теорiя

Гiпергеометричний розподiл

Iмовiрнiсть вiдбору $k$ елементiв iз групи $A$ i $r - k$ елементiв iз групи $B$ задається формулою:

P (k з A i r - k з B) = \frac{(\binom{a}{k}) \cdot (\binom{b}{r - k})}{(\binom{n}{r})},

де рiзнi лiтери у формулi мають такi значення:

$k$ — це кiлькiсть елементiв, вiдiбраних iз групи $A$ .
$r$ — це загальна кiлькiсть елементiв, вiдiбраних iз груп $A$ i $B$ .
$r - k$ — це кiлькiсть елементiв, вiдiбраних iз групи $B$ .
$a$ — це кiлькiсть елементiв iз групи $A$ , а $b$ — це кiлькiсть елементiв iз групи $B$ .
$n = a + b$ — це загальна кiлькiсть елементiв у множинi.

Приклад 1

Ти тягнеш п’ять карт iз звичайної колоди i хочеш дiзнатися, скiльки чирв витягнеш. Нехай $X$ — це кiлькiсть чирв серед твоїх карт. Яка ймовiрнiсть того, що ти отримаєш три чирви?

З умови можна отримати таку iнформацiю: сукупнiсть складає 52, оскiльки в колодi 52 карти. Вiдповiдними групами в цьому випадку є чирви та iншi карти. У колодi є 13 чирв i $52 - 13 = 39$ iнших карт. Загалом ти витяг/витягла п’ять карт, три з яких — чирви. А отже, $5 - 3 = 2$ твоїх карти не є чирвами.

Вiдсортувавши цю iнформацiю, бачимо, що $X$ гiпергеометрично розподiлена, i що знайденi числа можна пiдставити у формулу вище. Отримаємо

\begin{array}{l} P (3 з 13 i 2 з 39) & = \frac{(\binom{13}{3}) \cdot (\binom{39}{2})}{(\binom{52}{5})} \\ = 0.082 . \end{array}

\begin{array}{l} P (3 з 13 i 2 з 39) = \frac{(\binom{13}{3}) \cdot (\binom{39}{2})}{(\binom{52}{5})} = 0.082 . \end{array}

Iмовiрнiсть витягнути три чирви дорiвнює

8.2

%.

Приклад 2

У коробцi з лампочками мiститься 100 лампочок. Сiм iз них зламанi. Якщо навмання дiстати з коробки чотири лампочки, то яка ймовiрнiсть того, що ти дiстанеш лише робочi лампочки?

З умови бачимо, що сукупнiсть становить 100. Маємо двi групи: одна включає в себе зламанi лампочки, а iнша — робочi лампочки. У групi зi зламаними лампочками сiм елементiв, а у групi з робочими лампочками — $100 - 7 = 93$ елементiв. Потрiбно дiстати $k = 4$ лампочок. Як бачимо, $X$ гiпергеометрично розподiлена, i нам потрiбно знайти ймовiрнiсть $X = 0$ . Використовуємо попередню формулу i отримуємо

P (X = 0) = \frac{(\binom{7}{0}) \cdot (\binom{93}{4})}{(\binom{100}{4})} \approx 0.745 .

Це означає, що iснує ймовiрнiсть $74.5$ %, що всi чотири лампочки, якi ми дiстали, є робочими.

Приклад 3

Режисер Деннi Бойл збирається поставити у театрi Вест-Енду новий мюзикл i проводить прослуховування для масовки. У прослуховуваннi беруть участь 14 акторок i 7 акторiв, а Бойл набирає 8 акторiв незалежно вiд статi. Уявiмо, що всi актори чудово показали себе на прослуховуваннi, тож iмовiрнiсть отримати роль у них усiх однакова.

: Яка ймовiрнiсть того, що ролi отримають по чотири актори обох статей?
: Яка ймовiрнiсть того, що ролi отримають усi актори-чоловiки?
: Яка ймовiрнiсть того, що принаймнi двоє з обраних акторiв будуть жiнками?

Як бачимо, група $A$ (жiнки) складається з $14$ елементiв, а група $B$ (чоловiки) — з $7$ елементiв. Разом отримуємо $14 + 7 = 21$ елемент. Деннi Бойлу потрiбно вибрати $r = 8$ акторiв. Нехай $X$ — це кiлькiсть вибраних жiнок.

1.

Тут нас цiкавiть iмовiрнiсть того, що з групи

A

i з групи

B

буде вiдiбрано по 4 елементи. Це означає, що нам потрiбно пiдставити у формулу

k = 4

i

r = 8

, щоб отримати

\begin{array}{l} P (X = 4) & = \frac{(\binom{14}{4}) (\binom{7}{8 - 4})}{(\binom{21}{8})} \\ \approx 0.172 . \end{array}

\begin{array}{l} P (X = 4) = \frac{(\binom{14}{4}) (\binom{7}{8 - 4})}{(\binom{21}{8})} \approx 0.172 . \end{array}

Iмовiрнiсть того, що Деннi Бойл вiдбере однакову кiлькiсть жiнок i чоловiкiв, становить близько

17.2

%.

2.

У цьому завданнi нас цiкавить iмовiрнiсть того, що в групi

B

буде вiдiбрано всi елементи. Оскiльки група

B

складається з 7 елементiв, а Деннi потрiбно 8 акторiв масовки, йому потрiбно вибрати ще 1 жiнку. А отже,

P (X = 1)

— це ймовiрнiсть, яка нас цiкавить. Використаємо ту саму формулу, що й у попередньому завданнi, i отримаємо

\begin{array}{l} P (X = 1) & = \frac{(\binom{14}{1}) (\binom{7}{7})}{(\binom{21}{8})} \\ = 6.9 \cdot 1 0^{- 5}, \end{array}

\begin{array}{l} P (X = 1) = \frac{(\binom{14}{1}) (\binom{7}{7})}{(\binom{21}{8})} = 6.9 \cdot 1 0^{- 5}, \end{array}

що означає, що ймовiрнiсть того, що Бойл вибере сiмох чоловiкiв i одну жiнку, становить близько

0.007

%.

3.

Тут нам потрiбно розрахувати ймовiрнiсть того, що режисер вiдбере не менше двох жiнок. Ця подiя доповнює подiю «Деннi Бойл вiдбирає 0 жiнок або 1 жiнку», iмовiрнiсть якої становить

P (X = 0) + P (X = 1)

.

P (X = 0)

дорiвнює 0, оскiльки через те, що чоловiкiв лише семеро, Бойлу за будь-яких обставин доведеться вибрати принаймнi одну жiнку.

Ми знайшли $P (X = 1)$ у попереднiй частинi. А отже,

\begin{array}{l} P (X \geq 2) & = 1 - P (X = 0 або 1) \\ = 1 - (0 + 0.000 69) \\ = 0.999 . \end{array}

Отже, ймовiрнiсть того, що Бойл вiдбере двi та бiльше жiнок, становить $99.9$ %.

Приклад 4

Бредлi Купер прямує до буфету, де планує поїсти сушi. На його тарiлцi вмiщується 15 ролiв, i вiн сповнений рiшучостi її наповнити. У буфетi продається 30 ролiв макi з лососем, 20 ролiв макi з креветками темпура i 15 ролiв макi з морськими гребiнцями. Яка ймовiрнiсть того, що Бредлi вибере по п’ять ролiв кожного виду?

Бредлi потрiбно вибрати роли з трьох рiзних груп. Йому потрiбно вибрати 5 ролiв з першої групи з 30 елементiв, 5 ролiв з другої групи з 20 елементiв i 5 ролiв з групи з 15 елементiв. Разом у буфетi є $30 + 20 + 15 = 65$ ролiв. Можна пiдставити числа одразу у формулу гiпергеометричного розподiлу i отримати:

\begin{array}{l} P (п’ять ролiв кожного виду) & = \frac{(\binom{30}{5}) (\binom{20}{5}) (\binom{15}{5})}{(\binom{65}{15})} \\ = 0.032 \end{array}

Iмовiрнiсть того, що Бредлi вибере п’ять ролiв кожного виду, становить $3.2$ %.