Що таке трикутник Паскаля?

Трикутник Паскаля — це чудовий iнструмент, особливо якщо потрiбно розрахувати вирази у формi (a + b)n. Є два способи представити трикутник Паскаля: через бiномiальнi коефiцiєнти або через пошук наступного ряду шляхом додавання сусiднiх чисел з рядка вище.

Теорiя

Спосiб 1

Трикутник Паскаля побудований з бiномiальних коефiцiєнтiв (n k ), де n — це ряд, а k — число в ряду.

Важливо пам’ятати, що як ряди, так i числа в трикутнику Паскаля пронумерованi починаючи з 0. Щоб побудувати трикутник Паскаля, потрiбно пiдставити числа n i k у бiномiальнi коефiцiєнти. Трикутник має такий вигляд:

Ряди трикутника Паскаля вiд 0 до 4 з бiномiальними коефiцiєнтами

За допомогою цього способу зручно шукати точний коефiцiєнт.

Зверни увагу! Загалом маємо

(n 0 ) = 1 = (n n) (n 1 ) = n = ( n n 1) .

Переконайся, що це правильно!

Приклад 1

Знайди числа у рядi № 3 трикутника Паскаля

Пошук у рядi № 3 означає, що n = 3, а k становить 0, 1, 2 i 3. Отже, у рядi № 3 маємо такi числа:

Ряд № 3 трикутника Паскаля

Якщо розрахувати значення бiномiальних коефiцiєнтiв, отримаємо такий трикутник:

Ряд № 0-4 трикутника Паскаля з числами

Зверни увагу! Кожен ряд трикутника Паскаля починається i закiнчується з 1.

Проте що робити, якщо неможливо знайти або застосувати бiномiальнi коефiцiєнти? Є простий спосiб, який можна застосовувати, якщо вже маєш верхнiй ряд, а саме:

Теорiя

Спосiб 2

Якщо додати два числа, розмiщених поряд у рядi, то отримаєш число, що стоїть мiж цими двома числами в рядi нижче.

Приклад 2

Запиши першi чотири ряди трикутника Паскаля, додавши записи в рядi

Перший ряд

мiстить один запис i є рядом № 0. Запис — 1.

Другий ряд

мiстить два записи i є рядом № 1. Обидва записи — 1, оскiльки всi ряди трикутника Паскаля починаються i закiнчуються з 1.

Третiй ряд

мiстить три записи i є рядом № 2. Тепер варто записати перших два ряди, оскiльки третiй ряд шукатимемо за допомогою способу 2. Як ти знаєш, першим i останнiм записами має бути 1, тож додати потрiбно лише записи посерединi.

Ряд № 0-2 трикутника Паскаля

Тут можна бачити, що середнiй запис у третьому рядi дорiвнює 1 + 1 = 2.

Четвертий ряд

мiстить чотири записи i є рядом № 3. Перший i останнiй записи мають бути 1, тож знайти потрiбно два записи посерединi ряду. Ось що виходить:

Ряд № 0-3 трикутника Паскаля

Тут бачимо, що 1 + 2 = 3 i що 2 + 1 = 3; саме так отримуємо два середнiх записи четвертого ряду (ряд № 3).

До трикутника Паскаля завжди можна додати ряд за допомогою одного з описаних способiв, але якщо потрiбно додати дальнiй ряд унизу трикутника, то найпростiше це зробити за допомогою бiномiального коефiцiєнту (n k ), де n — це ряд, а k — запис у рядi. Звiсно, можна використовувати й спосiб 2, але якщо додати потрiбно ряд № 30, це забере дуже багато часу.

Серед iншого, трикутник Паскаля використовується для знаходження кiлькостi комбiнацiй i для розрахункiв у формi (a + b)n (бiном Ньютона).

Приклад 3

На рисунку нижче показано частину трикутника Паскаля.

Три ряди трикутника Паскаля. Показано символи 21, x, y, 2x i 126.

З того, що показано на рисунку, знайди значення x i y.

Як ти знаєш, сума двох сусiднiх чисел дорiвнює числу, що знаходиться мiж ними в рядi нижче. Згiдно з цим можна вивести два рiвняння з двома невiдомими:

21 + x = y, (1) y + 2x = 126. (2)

Розв’яжи (1) для x:

x = y 21. (3)

Розв’яжи (2) для y i пiдстав (3):

y + 2x = 126 y = 126 2x = 126 2(y 21) = 126 2y + 42 3y = 168 | : 3 y = 56.

Нарештi, знайди x, пiдставивши замiсть y в (3):

x = 56 21 = 35.

Це означає, що числа, яких бракує в трикутнику Паскаля, — це 35 i 56.

Приклад 4

Тут бачимо, як застосовувати бiном Ньютона для розрахунку виразiв у формi (a + b)n для n = 0, 1, 2, 3, 4:

(a + b)0 = 1 (a + b)1 = 1 a + 1 b (a + b)2 = 1 a2 + 2 ab + 1 b2 (a + b)3 = 1 a3 + 3 a2b + 3 ab2 + 1 b3 (a + b)4 = 1 a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + 1 b4

(a + b)0 = 1 (a + b)1 = 1 a + 1 b (a + b)2 = 1 a2 + 2 ab + 1 b2 (a + b)3 = 1 a3 + 3 a2b + 3 ab2 + 1 b3 (a + b)4 = 1 a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + 1 b4

Як бачимо, коефiцiєнти тi самi, що й у перших чотирьох рядах трикутника Паскаля.

Приклад 5

Розрахуй (2x + 1)4

Знайти вiдповiдь можна, перемноживши всi вирази в дужках, проте нащо витрачати на це час, якщо можна просто скористатися трикутником Паскаля, як той, що ми показали у Приклад 4. Перше, на що потрiбно звернути увагу, — це показник, який дорiвнює 4. Це свiдчить, що в рядi № 4 трикутника Паскаля є потрiбнi нам коефiцiєнти (не забуваймо, що перший ряд — це ряд № 0). Отримуємо такi коефiцiєнти:

Ряд № 4 трикутника Паскаля, записаний у виглядi бiномiальних коефiцiєнтiв

Знайшовши бiномiальнi коефiцiєнти, отримуємо:

Ряд № 4 трикутника Паскаля, записаний у виглядi чисел

Далi записуємо операцiї множення двох одночленiв у (2x + 1)4. Спосiб такий:

  • У дужках є два одночлени, 2x i 1. Їх пiдносять до степеня за допомогою показника.

  • Показник першого одночлена, 2x, має початися з показника виразу в дужках, що в цьому випадку становить 4, i почленно зменшитися до 0.

  • Показник другого одночлена, 1, має початися з 0 i почленно збiльшитися до показника виразу в дужках — 4.

Це має такий вигляд:

(2x)4 10 = 16x4 (2x)3 11 = 8x3 (2x)2 12 = 4x2 (2x)1 13 = 2x (2x)0 14 = 1

Тепер можна пiдставити п’ять коефiцiєнтiв навпроти кожного з п’яти одночленiв. Отримаємо такий вираз:

(2x + 1)4 = 1 16x4 + 4 8x3 + 6 4x2 + 4 2x + 1 1 = 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1

(2x + 1)4 = 1 16x4 + 4 8x3 + 6 4x2 + 4 2x + 1 1 = 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1

Коли засвоїте цей спосiб, зможете виконати остаточний розрахунок. Усе, що йому передує — мiркування, якi вiдбуваються подумки. Цей спосiб значно швидший, нiж просто по-старому розраховувати вирази в дужках, а отже, варто звикати до використання трикутника Паскаля!

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!