Що таке дисперсія та стандартне відхилення?

Стандартне вiдхилення є мiрою дисперсiї, яка вказує на те, наскiльки мiнливими є данi вiдносно середнього арифметичного. Щоб знайти стандартне вiдхилення в наборi даних, можна використовувати формулу стандартного вiдхилення.

Правило

Порядок знаходження стандартного вiдхилення

1.: Розрахуй середнє арифметичне для $N$ спостережень у наборi даних.
2.: Розрахуй, наскiльки кожне спостереження вiдхиляється вiд середнього арифметичного.
3.: Пiднеси вiдхилення до квадрату i розрахуй суму вiдхилень у квадратi.
4.: Подiли суму на число $N - 1$
5.: Знайди квадратний корiнь iз вiдповiдi.

s = \frac{\sqrt{{(x_{1} - \overset{}{x})}^{2} + \dots + {(x_{N} - \overset{}{x})}^{2}}}{\sqrt{N - 1}}

s = \frac{\sqrt{{(x_{1} - \overset{}{x})}^{2} + {(x_{2} - \overset{}{x})}^{2} + \dots + {(x_{N} - \overset{}{x})}^{2}}}{\sqrt{N - 1}}

Приклад 1

Учасницi нацiональної збiрної України з художньої гiмнастики Христина, Вiкторiя, Нiколь, Влада, Дарина та Марiя — близькi подруги. Зрiст Христини — $167 см$ , Вiкторiї — $159 см$ , Нiколь — $162 см$ , Влади — $155 см$ , Дарини — $160 см$ , Марiї — $157 см$ . Знайди стандартне вiдхилення значень зросту учасниць збiрної України з художньої гiмнастики.

Спершу потрiбно знайти середнiй зрiст $\overset{}{x}$ . Для цього додаємо всi значення зросту дiвчат i дiлимо на кiлькiсть спостережень, тобто на кiлькiсть дiвчат.

\frac{167 + 159 + 162 + 155 + 160 + 157}{6}

Отримаємо значення середнього зросту $160 см$ . Пiсля цього знаходимо значення вiдхилення зросту кожної дiвчини вiд середнього арифметичного зросту. Для цього вiднiмаємо вiд зросту кожної дiвчини середнiй зрiст.

Пiсля цього потрiбно пiднести кожне вiдхилення до квадрату. Для цього множимо вiдхилення саме на себе. Пам’ятай, що мiнус, помножений на мiнус, дає плюс. Квадратне вiдхилення завжди є додатним значенням! Результати можна побачити в таблицi нижче.

Таблиця зросту дiвчат iз вiдхиленням i квадратним вiдхиленням


Iм’я	Зрiст (см)	Вiдхилення	Квадратне вiдхилення

Христина	167	7	49

Вiкторiя	159	-1	1

Нiколь	162	2	4

Дарина	160	0	0

Марiя	157	-3	9

Влада	155	-5	25

Додаємо всi квадратнi вiдхилення. Дiлимо отриману суму на $N - 1$ спостережень. Нарештi, знаходимо квадратний корiнь iз цього значення:

\begin{array}{l} s & = \sqrt{\frac{49 + 1 + 4 + 0 + 9 + 25}{6 - 1}} \\ = \sqrt{\frac{88}{5}} \\ = \sqrt{17, 6} \\ \approx 4.2 см \end{array}

Стандартне вiдхилення значень зросту українських гiмнасток становить $4.2$ см.

Варiацiя та стандартне вiдхилення визначають, наскiльки данi вiдхиляються вiд математичного сподiвання. Ми називаємо це статистичною дисперсiєю або просто дисперсiєю. Дисперсiя вимiрює розкид наявних даних. Варiацiя та стандартне вiдхилення є прикладами мiр дисперсiї.

Теорiя

Варiацiя

Варiацiю $Var (X)$ розраховують так:

Var (X) = \sum_{i = 1}^{m} {(x_{i} - μ)}^{2} \cdot P (X = x_{i}) .

Теорiя

Стандартне вiдхилення

Стандартне вiдхилення $σ$ розраховують так:

σ = SD (X) = \sqrt{Var (X)} .

Приклад 2

Пiсля кидка гральний кубик багато разiв перекотився. Потрiбно знайти варiацiю та стандартне вiдхилення для цього експерименту. Ми вже знаємо, що значення математичного сподiвання для кубика становить $3.5$ . Пiдставляємо це значення у формулу:

\begin{array}{l} Var (X) \\ = \sum_{i = 1}^{6} {(x_{i} - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ = {(1 - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(2 - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ + {(3 - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(4 - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ + {(5 - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(6 - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ = 2.92 \end{array}

\begin{array}{l} Var (X) & = \sum_{i = 1}^{6} {(x_{i} - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ = {(1 - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(2 - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(3 - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ + {(4 - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(5 - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(6 - 3.5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ = 2.92 \end{array}

Значення варiацiї повторного перекочування кубика становить

2.92

. Щоб знайти стандартне вiдхилення, знаходимо квадратний корiнь iз значення варiацiї:

SD (X) = \sqrt{2.92} = 1.71 .

Стандартне вiдхилення повторного перекочування кубика становить $1.71$ .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Міжквартильний і напівміжквартильний розмах

Повернутися