>Середнє арифметичне та математичне сподівання>Математичне сподівання та дисперсія сум

Математичне сподівання та дисперсія сум

Пiсля знаходження математичного сподiвання та варiацiї для набору даних корисно знати, що обчислювати все знову у разi внесення дрiбних змiн до набору даних не доведеться. Насправдi можна використовувати значення математичного сподiвання та варiацiї, визначенi ранiше, пiдставивши їх у формули, з якими ми познайомимося в цьому роздiлi.

Теорiя

Сума змiнних

Сума випадкових змiнних може мати такий вигляд:

Z = a X + Y + b,

де $X$ i $Y$ — це випадковi змiннi, що не залежать одна вiд одної, а $a$ i $b$ — це сталi.

За наявностi суми змiнних знайденi значення $E (X)$ , $E (Y)$ , $Var (X)$ i $Var (Y)$ можна використовувати безпосередньо. Загалом надмiру ускладнений розрахунок може суттєво спростити завдяки формулам:

Формула

Зручнi формули на розрахунок суми змiнних

\begin{array}{l} E (Z) & = E (a X + Y + b) \\ = E (a X) + E (Y + b) \\ = a E (X) + E (Y) + b \\ Var (Z) & = Var (a X + Y + b) \\ = Var (a X) + Var (Y + b) \\ = a^{2} Var (X) + Var (Y) \end{array}

Зверни увагу! Пiсля знаходження варiацiї вiльний член усувається.

Приклад 1

Дано $Z = 3 X + Y + 6$ i $E (X) = 7$ , $E (Y) = 16$ , $Var (X) = 2$ i $Var (Y) = 3$ . Знайди математичне сподiвання $E (Z)$ i варiацiю $Var (Z)$ .

Щоб знайти математичне сподiвання, пiдставляємо вiдомi значення у формули:

\begin{array}{l} E (Z) & = E (3 X + Y + 6) \\ = E (3 X) + E (Y + 6) \\ = 3 E (X) + E (Y) + 6 \\ = 3 \cdot 7 + 16 + 6 \\ = 43 \end{array}

Варiацiю шукаємо так само:

\begin{array}{l} Var (Z) & = Var (3 X + Y + 6) \\ = Var (3 X) + Var (Y + 6) \\ = 3^{2} Var (X) + Var (Y) \\ = 9 \cdot 2 + 3 \\ = 21 \end{array}

Попередня стаття

У чому полягає математичне сподівання?

Повернутися