Що таке степені в математиці?

Якщо потрiбно виразити добуток, що складається з повторюваних множникiв, краще використовувати степенi ( $a^{n}$ ). Якщо спробувати обчислити цей добуток, часто можна отримати дуже велике або дуже мале число. Використання степенiв дає змогу уникнути розрахункiв iз надто великими чи малими числами. Коротко кажучи, ми використовуємо степенi для множення i розрахункiв iз дуже великими або дуже малими числами. Але що таке степенi?

Основа — це число, яке потрiбно помножити саме на себе. Показник степеня показує, скiльки разiв потрiбно помножити основу саму на себе. Я уявляю це так, що основа знаходиться на першому поверсi, а показник – на горищi. Коротко, степiнь — це вираз, який складається з основи та показника. Розгляньмо докладнiше, що це означає:

Правило

Степенi

\underset{n разiв}{\underset{⏟}{a \cdot a \dots a}} = a^{n}

$a$ — це основа, а $n$ — це показник.

Приклад 1

Що означає вираз $3^{4}$ ?

Згiдно з формулою, $3$ — це основа, а $4$ — показник. Показник вказує, що $3$ потрiбно помножити саме на себе $4$ рази:

3^{4} = \underset{4 рази}{\underset{⏟}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}} = 81

Що означає $2^{7}$ ? З формули бачимо, що $2$ — це основа, а показником є число $7$ . Це означає, що $2$ потрiбно помножити саме на себе 7 разiв, тобто

2^{7} = \underset{7 разiв}{\underset{⏟}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} = 128

Помiркуй

Багатий iндiйський король якось зажадав, щоб його пiдданi показали йому свої винаходи. Одного дня Сiсса iбн Дахiр представив на суд короля гру, що складалася з дошки на $8$ на $8$ клiтинок (усього $64$ ) та фiгур, якi мали зображати придворних.

Королю так сподобалася гра, що вiн запропонував Сiссi самому вибрати собi нагороду. Сiсса попросив за першу клiтинку заплатити йому $1$ рисове зернятко, за другу клiтинку — $2$ зернятка, за третю клiтинку — $4$ зернятка i так далi аж до останньої клiтинки на дошцi. Тобто з кожною наступною клiтинкою кiлькiсть рисових зерняток мала подвоюватися. Королевi це бажання здалося дуже скромним, i без зайвих роздумiв вiн погодився. Але чи справдi виграв вiд цiєї угоди король? Скiльки рисових зерняток мав отримати Сiсса за 8-му клiтинку, а скiльки — за 64-ту?

За першу клiтинку винахiдник отримав $1$ рисове зернятко. За другу клiтинку вiн отримав уже $2$ зернятка. За третю клiтинку — $2 \cdot 2 = 2^{2} = 4$ рисових зернятка. Клiтинка номер чотири дала вже $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3} = 8$ зернятка. Як бачимо з цiєї схеми, показник для кожної клiтинки на одиницю менший за номер клiтинки. Отже, за клiтинку номер вiсiм Сiсса мав отримати $2^{7} = 128$ рисових зерняток. Щоб з’ясувати, скiльки зерняток вiн отримав би з клiтинки номер шiстдесят чотири, потрiбно обчислити $2^{63}$ . Це те саме, що помножити $2$ саме на себе $63$ рази:

2^{63} = 9 223 372 036 854 775 808,

тобто близько 9 квiнтильйонiв рисових зерняток!

Король у коронi та шахiвниця

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Що таке правила розрахунків зі степенями?

Повернутися