Як знайти відстань між двома комплексними числами

Можна обчислити вiдстань мiж двома комплексними числами так само, як i пiд час роботи з векторами. Якщо дано два комплекснi числа $z_{1}$ i $z_{2}$ , можна обчислити вiдстань мiж ними як норму $r = | z_{1} - z_{2} |$ рiзницi $z_{3} = z_{1} - z_{2}$ . Оскiльки нас цiкавить лише вiдстань мiж $z_{1}$ i $z_{2}$ , немає значення те, яку норму ми вирiшимо обчислити — $z_{3} = z_{1} - z_{2}$ або $z_{4} = z_{2} - z_{1}$ .

Приклад 1

Знайди вiдстань мiж $z_{1} = 5 + 2 i$ та $z_{2} = 1 - i$

Щоб обчислити вiдстань мiж числами, спершу потрiбно обчислити $z_{3} = z_{1} - z_{2}$ . Це потрiбно зробити поелементно, розглядаючи дiйсну та уявну частини окремо:

\begin{array}{l} z_{3} & = (5 + 2 i) - (1 - i) \\ = (5 - 1) + (2 - (- 1)) i \\ = 4 + 3 i . \end{array}

z_{3} = (5 + 2 i) - (1 - i) = (5 - 1) + (2 - (- 1)) i = 4 + 3 i .

Тепер можна розрахувати вiдстань мiж

z_{1}

z_{2}

як норму числа

z_{3}

\begin{array}{l} r_{1} & = | z_{3} | \\ = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} \\ = \sqrt{16 + 9} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 . \end{array}

r_{1} = | z_{3} | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 .

Отже, вiдстань мiж

z_{1}

z_{2}

дорiвнює

5

. За бажання можна також обчислити рiзницю

z_{4} = z_{2} - z_{1}

\begin{array}{l} z_{4} & = (1 - i) - (5 + 2 i) \\ = (1 - 5) + (- 1 - 2) i \\ = - 4 - 3 i . \end{array}

z_{4} = (1 - i) - (5 + 2 i) = (1 - 5) + (- 1 - 2) i = - 4 - 3 i .

Хоча

z_{3}

та

z_{4}

— це рiзнi числа, вони мають однакову норму:

\begin{array}{l} r_{2} & = | z_{4} | \\ = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 3)}^{2}} \\ = \sqrt{16 + 9} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 . \end{array}

r_{2} = | z_{4} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 .

Iнакше кажучи, можна довiльно обрати, яку рiзницю використовувати для знаходження вiдстанi мiж двома комплексними числами.

Використовуючи комплексну площину, можна геометрично зобразити вiдстань мiж двома комплексними числами. Можна зобразити числа, якi показує Приклад 1, на комплекснiй площинi та за теоремою Пiфагора обчислити вiдстань мiж ними:

Вiдстань мiж двома комплексними числами на комплекснiй площинi.

Вiдстань мiж двома комплексними числами можна використовувати для зображення площi на комплекснiй площинi:

Приклад 2

Зобрази множину ${z \in ℂ : | z + 1 | \leq 1}$ комплексних чисел $z$ , так що $| z + 1 | \leq 1$

У цiй задачi наше завдання полягає в тому, щоб зобразити всi комплекснi числа $z$ , вiдстань вiд яких до $- 1$ менша або дорiвнює $1$ . На комплекснiй площинi це замкнене коло з центром у $- 1$ i радiусом $1$ :

Зображена площа на комплекснiй площинi.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке формула Муавра та як її використовувати?

Наступна стаття

Як знайти середину двох комплексних чисел

Повернутися