Що таке норма та аргумент комплексного числа?

Оскiльки алгебраїчна та тригонометрична форми запису є еквiвалентними способами запису одного й того самого комплексного числа $z$, iснують правила перетворення мiж цими двома формами представлення комплексних чисел.

Якщо зобразити комплексне число $z$ на комплекснiй площинi, можна скористатися теоремою Пiфагора та тригонометрiєю, щоб знайти норму й аргумент $z$.

На комплекснiй площинi комплексне число $z=a+bi$ утворює прямокутний трикутник iз катетами завдовжки $a$ та $b$. На цьому геометричному рисунку норма $z$, яка визначається як вiдстань вiд $z$ до початку координат, — це довжина гiпотенузи трикутника. Це означає, що можна використати теорему Пiфагора, щоб знайти норму комплексних чисел.

Аргумент $𝜃$ можна знайти, використовуючи синус, косинус або тангенс:

Кожен наведений вище вираз дає два значення аргументу $𝜃$. Щоб знайти правильний аргумент, треба скористатися двома формулами й обрати повторюванi значення. Також можна поглянути на аргументи чисел $a$ та $b$ або зобразити число на комплекснiй площинi й обрати кут, який лежить у правильному квадрантi.

Для переходу вiд тригонометричної форми запису $z=\left(r,𝜃\right)$ до алгебраїчної форми запису $z=a+bi$ також можна використати прямокутний трикутник на комплекснiй площинi, утворений комплексним числом $z$.

Ця остання форма запису комплексних чисел пов’язує комплекснi числа з тригонометричними функцiями. Це дiйсно важливо, коли ми маємо справу з показниковою формою запису комплексних чисел.