Як інтерпретувати та обчислювати асимптоти функції

Асимптоти – це лiнiї, до яких графiк наближається, але до яких нiколи не дотикається. Асимптоти — це невидимi лiнiї, якi можна провести пунктиром, щоб легше було побачити, де вони знаходяться.

Теорiя

Вертикальнi асимптоти

Лiнiя $x = a$ є вертикальною асимптотою, якщо $f (x) \to \pm \infty$ , якщо $x \to a$ . Вертикальнi асимптоти виникають, коли знаменник дробу дорiвнює нулю, тому що функцiя в цьому випадку не визначена.

Теорiя

Горизонтальнi асимптоти

Лiнiя

y = c

є горизонтальною асимптотою, якщо

f (x) \to c

, якщо

x \to \pm \infty

Зверни увагу! Видiляють також похилi (косi) асимптоти, але вони менш поширенi.

Приклад 1

Маємо вираз $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 2}$ . Знайди будь-якi вертикальнi та горизонтальнi асимптоти.

Вертикальнi асимптоти

Щоб знайти вертикальнi асимптоти, знаменник потрiбно задати рiвним нулю:

x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2

Горизонтальнi асимптоти

Щоб знайти горизонтальнi асимптоти, обчислюємо границю:

\begin{array}{l} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 2} & = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}} \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - \frac{2}{x}} \\ = \frac{1 + 0 + 0}{0} \\ \Rightarrow розбiжний \end{array}

Зверни увагу! Слово «розбiжний» у цьому контекстi означає, що границi не iснує.

На рисунку зображено графiк функцiї (Приклад 1). Як бачимо, для $x = 2$ маємо вертикальну асимптоту i не маємо горизонтальної асимптоти. Присутня похила асимптота.

Приклад вертикальної асимптоти

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як визначити неперервність функції?

Повернутися