Як інтерпретувати та обчислювати границі функції

Границi — це значення, якi говорять про те, що вiдбувається з виразом, якщо змiнна наближається до певного значення. Значенням границi може бути $- \infty$ , $\infty$ або будь-яке число на числовiй прямiй.

Ми використовуємо для границь особливе позначення:

\lim_{x \to a} вираз

Це читається так: «границя вираз, якщо $x$ прямує до $a$ ». Тут « $\lim$ » — це скорочене позначення «границi». Математика тяжiє до максимально простих та iнтуїтивних визначень.

Правило

Границi многочленiв

Для многочленiв

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

границя

\lim_{x \to a} f (x)

дорiвнює значенню функцiї $f (a)$ для всiх випадкiв $a \in ℝ$ . Отже,

\lim_{x \to a} f (x) = f (a) .

Приклад 1

Знайди границю $f (x) = x^{2} + 3 x - 4$ , якщо $x \to 3$

\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} f (x) & = \lim_{x \to 3} x^{2} + 3 x - 4 \\ = 3^{2} + 3 \cdot 3 - 4 \\ = 9 + 9 - 4 \\ = 14 \end{array}

Нехай $f (x)$ — многочлен $n$ -го степеня. Тодi

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} .

Якщо $x$ прямує до плюс чи мiнус нескiнченностi, тодi $a_{n} x^{n}$ в кiнцевому пiдсумку стає головним членом виразу, а отже, визначає, додатним чи вiд’ємним є значення функцiї $f (x)$ . Розгляньмо границю $f (x)$ , якщо $x \to \infty$ : головний член впливає на знак значення функцiї $f (x)$ , оскiльки $x^{n}$ прямує до плюс нескiнченностi, якщо $n$ є парним числом, i до мiнус нескiнченностi, якщо $n$ є непарним числом. Нижче коротко описанi рiзнi випадки:

Правило

Границi многочленiв, якщо $x$ прямує до плюс/мiнус нескiнченностi

Якщо $a_{n} > 0$ , а $n$ — парне число, то

\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty i \lim_{x \to - \infty} f (x) = \infty .

Якщо $a_{n} < 0$ , а $n$ — парне число, то

\lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty i \lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty .

Якщо $a_{n} > 0$ , а $n$ — непарне число, то

\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty i \lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty .

Якщо $a_{n} < 0$ , а $n$ — непарне число, то

\lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty i \lim_{x \to - \infty} f (x) = \infty .

У будь-якому випадку, многочлен прямує до плюс або мiнус нескiнченностi, якщо $x \to \pm \infty$ .

Приклад 2

Знайди границю $\lim_{x \to - \infty} - 2 x^{3} - 2 x + 5$

Тут $f (x)$ є многочленом 3-го, а отже, непарного степеня. Крiм того, коефiцiєнт члена з найвищим степенем вiд’ємний. Отже, границя

\lim_{x \to - \infty} - 2 x^{3} - 2 x + 5 = \infty .

Правило

Прийом для знаходження границь рацiональних функцiй

Якщо i чисельник, i знаменник у дробi прямують до нуля, якщо $x \to a$ , можна окремо розкласти чисельник i знаменник на множники, щоб знайти границю дробу $\lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)}$ .
Якщо i чисельник, i знаменник у дробi прямують до нескiнченностi, якщо $x \to a$ , можна роздiлити всi члени виразу на найвищий степiнь $x$ у виразi.

Зверни увагу! Якщо маємо простий дрiб $\frac{1}{x}$ i $x \to \infty$ , тодi $\frac{1}{x} = 0$ . Усi дроби, в яких $x$ є лише в знаменнику, прямують до 0, якщо $x$ прямує до нескiнченностi. Чiтко!

Правило

Деякi важливi границi

Якщо $a \in ℝ ∖ {0}$ , то справедливим буде таке:

\lim_{x \to \infty} \frac{a}{x} = 0 \lim_{x \to - \infty} \frac{a}{x} = 0 \lim_{x \to 0} \frac{a}{x} = \infty

Зверни увагу! $\infty$ не є числом! Тож незалежно вiд того, наскiльки велике число ми виберемо на числовiй прямiй, $\infty$ буде нескiнченно бiльшою. Це означає, що спiввiдношення мiж $x$ i $a$ , якщо $x \to \infty$ або $x \to - \infty$ , завжди є нескiнченно бiльшим.