Як визначити неперервність функції?

Неперервнiсть — це властивiсть функцiї. Коли ми говоримо про неперервнiсть, то описуємо, чи iснує графiк функцiї для всiх значень x у iнтервалi, i чи цi точки сумiжнi мiж собою.

Той факт, що графiк є неперервним, означає, що його можна побудувати, не вiдриваючи олiвця вiд аркуша. Є графiки, в яких значення y для заданого значення x знаходяться на певнiй вiдстанi вiд значення y для сумiжного значення x. Такi графiки не є неперервними. Функцiї, не визначенi для всiх значень x у межах iнтервалу, також не є неперервними в межах цього iнтервалу. Нижче наведено приклади рiзних випадкiв:

Неперервна функцiя та переривчаста функцiя

Теорiя

Неперервнiсть

  • Якщо lim xaf(x) = f(a), то f є неперервною для x = a.

  • Якщо lim xaf(x)f(a), то f є переривчастою для x = a.

Якщо f(x) неперервна для всiх значень x у iнтервалi, то кажемо, що вона неперервна в iнтервалi.

Приклад 1

Визнач, чи є функцiя f(x) = x22x x1 неперервною для x = 1

lim x1x2 2x x 1 = lim x1x2 x2 2x x2 x x2 1 x2 = lim x1 1 2 x 1 x 1 x2 = lim x1 1 2 1 1 1 1 12 = 1 2 1 1 = не визначено Як бачимо, f(x) є переривчастою, оскiльки пiд час обчислення границi ми отримали недiйсний вираз.

Приклад 2

Визнач, чи є функцiя f(x) = x22x+2 x+3 неперервною для x = 2

lim x2x2 2x + 2 x + 3 = (2)2 2(2) + 2 2 + 3 = 4 + 4 + 2 1 = 10 Як бачимо, f(x) є неперервною, оскiльки пiд час обчислення границi ми отримали числове значення.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!