Як апроксимувати миттєву швидкість зміни в математиці

Ми можемо апроксимувати миттєву швидкiсть змiни в точцi P за допомогою середньої швидкостi змiни. Для цього виберемо двi точки, розташованi дуже близько одна вiд одної i поруч iз точкою P, щоб кутовий коефiцiєнт прямої мiж ними був наближений до кутового коефiцiєнта дотичної в точцi P.

Апроксимацiя миттєвої швидкостi змiни

Апроксимацiя виконується через складнiсть точного розташування дотичної. Часто вона надто полога або надто крута, через що можна отримати неправильнi значення. Якщо дотична занадто полога, отримуємо значення, нижче за вiдповiдь, а якщо дотична занадто крута, отримуємо зависоке значення для шуканої вiдповiдi.

Iснує iнший спосiб обчислення миттєвого зростання, крiм застосування дотичної. Якщо використовувати формулу для середньої швидкостi змiни i вибрати x2 дуже близьким до точки, в якiй виявлено зростання, x1, отримаємо наближене значення миттєвої швидкостi змiни. Нижче наведемо приклад.

Приклад 1

Погляньмо на f(x) = 0.5x2 0.5x + 2. Потрiбно знайти миттєву швидкiсть змiни для x = 4 за допомогою апроксимацiї

Використовуємо формулу середньої швидкостi змiни:

середня швидкiсть змiни = змiна y змiна x = y2 y1 x2 x1 = f(x2) f(x1) x2 x1 ,

де x1 = 4. Тепер виберемо x2 = 4.01 (або iнше значення, наближене до x1). Тодi потрiбно знайти y1 = f(x1) i y2 = f(x2), якi становлять

y1 = f(4) = 0.5(4)2 0.5(4) + 2 = 8 y2 = f(4.01) = 0.5(4.01)2 0.5(4.01) + 2 = 8.03505

Пiдставляємо значення у формулу i отримуємо:

апроксимацiя = змiна y змiна x = 8 8.03505 4.01 4 = 3.505

Точна миттєва швидкiсть змiни дорiвнює 3.5, тож апроксимацiя насправдi є непоганим способом. Вiн стане ще точнiшим, якщо вибрати x2, ще ближче до x1. Наприклад, якщо вибрати x2 = 4.0001, отримаємо:

y2 = f(4.0001) = 0.5(4.0001)2 0.5(4.0001) + 2 = 8.000350005

Введемо значення у формулу i отримаємо:

апроксимацiя = змiна y змiна x = 8 8.000350005 4.0001 4 = 3.50005

Як бачимо, що ближчi значення x одне до одного, то бiльш точною є апроксимацiя. Точне значення миттєвого зростання в точцi x = 4 становить 3.5, тож цей метод добре працює, якщо використовувати два значення x, дуже близькi одне до одного.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!