Як інтерпретувати та знаходити миттєву швидкість зміни в математиці

Миттєва швидкiсть змiни – це швидкiсть змiни в конкретнiй точцi $P$ . Щоб знайти цю швидкiсть змiни, потрiбно обчислити кутовий коефiцiєнт дотичної в точцi $P$ . Дотична – це пряма, що дотикається до графiка в цiй точцi.

Теорiя

Миттєва швидкiсть змiни

Миттєва швидкiсть змiни в точцi $P = (x_{1}, f (x_{1}))$ на графiку функцiї $f (x)$ вказує, наскiльки змiнюється графiк у цiй конкретнiй точцi. Нехай дотична до $f (x)$ в точцi $x = x_{1}$ задається виразом

y = a x + b .

Тодi миттєва швидкiсть змiни в цiй точцi дорiвнює кутовому коефiцiєнту дотичної. Отже,

Миттєва швидкiсть змiни = a .

Для функцiї $f (x)$ i точки $P$ на графiку можна вибрати двi точки, $(x_{1}, y_{1})$ i $(x_{2}, y_{2})$ , на дотичнiй у точцi $P$ . Тодi

\begin{array}{l} миттєва швидкiсть змiни & = \frac{змiна y}{змiна x} \\ = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \end{array}

Якщо $(x_{1}, y_{1}) = P$ , то

\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y_{2} - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} .

Рiзницю мiж середньою швидкiстю змiни та миттєвою швидкiстю змiни можна пояснити так: середню швидкiсть змiни можна використовувати для вимiрювання швидкостi за певний перiод часу. Наприклад, скiльки часу потрiбно, щоб проїхати автомобiлем $10 км$ . Миттєву швидкiсть змiни, з iншого боку, можна порiвняти з показанням спiдометра автомобiля у конкретний момент часу. Миттєва швидкiсть змiни означає швидкiсть, яку ми маємо в цей момент.

Приклад 1

Якщо дано рiвняння дотичної в точцi, в якiй потрiбно знайти миттєву швидкiсть змiни, то просто дивимося на кутовий коефiцiєнт прямої. Але якщо дано лише двi точки на дотичнiй, тодi кутовий коефiцiєнт можна знайти за допомогою наведеного тут методу. Як бачимо, насправдi ми обчислюємо середню швидкiсть змiни, щоб знайти кутовий коефiцiєнт.

На рисунку бачимо функцiю $f (x)$ (графiк синього кольору).

Приклад дотичної в точцi та миттєвої швидкостi змiни 1

Проводимо дотичну (червона лiнiя) в точцi $x = x_{1}$ (де $x = x_{1}$ означає, що координата $x$ точки має значення $x_{1}$ , а отже, $x_{1}$ — це число). Зверни увагу, що одна з двох точок на дотичнiй може бути точкою на графiку (точка дотику).

Тепер вибираємо довiльну точку на дотичнiй (червона лiнiя) i називаємо її $(x_{2}, y_{2})$ . Обчислюємо кутовий коефiцiєнт дотичної, щоб знайти миттєву швидкiсть змiни.

Можна скористатися виразом для середньої швидкостi змiни, щоб знайти апроксимацiю миттєвої швидкостi змiни для $x_{1}$ . Потiм вибираємо $x_{2}$ , дуже близьке до значення $x$ , даного в умовi завдання, i вводимо значення у формулу середньої швидкостi змiни.

Приклад 2

Марк Цукерберг заснував компанiю i визначив таку функцiю для розрахунку доходу компанiї (в мiльйонах доларiв США):

f (x) = 0.5 x^{2} - 0.5 x + 2,

де $x$ — це кiлькiсть тижнiв. Знайди миттєву швидкiсть змiни через 4 тижнi.

Щоб обчислити миттєву швидкiсть змiни, потрiбно побудувати графiк $f (x)$ у системi координат, а потiм провести дотичну в точцi $x = 4$ . Щоб побудувати графiк, знадобиться таблиця функцiй. Вибери декiлька значень $x$ i обчисли значення $y$ :


$x$	$y = f (x)$	$(x, y)$

$0$	$f (0) = 2$	$(0, 2)$

$1$	$f (1) = 2$	$(1, 2)$

$2$	$f (2) = 3$	$(2, 3)$

$3$	$f (3) = 5$	$(3, 5)$

$4$	$f (4) = 8$	$(4, 8)$

$5$	$f (5) = 12$	$(5, 12)$

$6$	$f (6) = 17$	$(6, 17)$

$7$	$f (7) = 23$	$(7, 23)$


$x$	$y = f (x) = 0.5 x^{2} - 0.5 x + 2$	$(x, y)$

$0$	$f (0) = 0.5 \cdot {(0)}^{2} - 0.5 \cdot (0) + 2 = 2$	$(0, 2)$

$1$	$f (1) = 0.5 \cdot {(1)}^{2} - 0.5 \cdot (1) + 2 = 2$	$(1, 2)$

$2$	$f (2) = 0.5 \cdot {(2)}^{2} - 0.5 \cdot (2) + 2 = 3$	$(2, 3)$

$3$	$f (3) = 0.5 \cdot {(3)}^{2} - 0.5 \cdot (3) + 2 = 5$	$(3, 5)$

$4$	$f (4) = 0.5 \cdot {(4)}^{2} - 0.5 \cdot (4) + 2 = 8$	$(4, 8)$

$5$	$f (5) = 0.5 \cdot {(5)}^{2} - 0.5 \cdot (5) + 2 = 12$	$(5, 12)$

$6$	$f (6) = 0.5 \cdot {(6)}^{2} - 0.5 \cdot (6) + 2 = 17$	$(6, 17)$

$7$	$f (7) = 0.5 \cdot {(7)}^{2} - 0.5 \cdot (7) + 2 = 23$	$(7, 23)$

Отримаємо такий графiк (синього кольору):

Приклад дотичної в точцi та миттєвої швидкостi змiни 2

Проведи дотичну, яка торкатиметься графiка лише в точцi $(4, f (4))$ . Щоб знайти миттєву швидкiсть змiни в точцi $x = 4$ , потрiбно знайти двi точки на дотичнiй i пiдставити їх у формулу. Як бачимо, точки $(x_{1}, y_{1}) = (2, 1)$ i $(x_{2}, y_{2}) = (4, 8)$ лежать на дотичнiй.

Тодi отримуємо таке:

\begin{array}{l} миттєва швидкiсть змiни & = \frac{8 - 1}{4 - 2} \\ = \frac{7}{2} \\ = 3.5 . \end{array}

\begin{array}{l} миттєва швидкiсть змiни = \frac{8 - 1}{4 - 2} = \frac{7}{2} = 3.5 . \end{array}

Множимо це значення на $

1 000 000

, щоб отримати правильну вiдповiдь, оскiльки дохiд розраховується в мiльйонах доларiв:

3.5 \cdot $ 1 000 000 = $ 3 500 000 .

Миттєва швидкiсть змiни доходу компанiї через чотири тижнi дорiвнює $ $3 500 000$ на тиждень.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке рівняння прямої, яка проходить через задану точку?

Наступна стаття

Як апроксимувати миттєву швидкість зміни в математиці

Повернутися