Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Як використовувати формулу iнтегрування частинами


Iнтегрування частинами — це зворотне правило добутку. Формула має такий вигляд:

Формула

Iнтегрування частинами

uvdx = uv uvdx

Зверни увагу! У завданнях на iнтегрування частинами потрiбно вибрати ex замiсть v i ln(x) замiсть u.

Приклад 1

3xexdx = 3xex 3exdx = 3xex 3ex + C = 3ex(x 1) + C

*

u = 3xv = ex u = 3 v = ex

Приклад 2

Знайди функцiю F, за якої F(x) = 4x3 + 1 x, а F(1) = 2

F(x) = 4x3 + 1 xdx = x4 + ln |x| + C

Крiм того, скористаємось тим, що F(1) = 2: 2 = F(1) = 14 + ln |1| + C = 1 + 0 + C, C = 1.

Тодi F(x) = x4 + ln |x| + 1.

Приклад 3

Обчисли iнтеграл sin 2xdx

sin 2xdx = sin x sin xdx = sin x cos x + cos 2xdx = sin x cos x + 1 sin 2xdx = sin x cos x + x sin 2xdx

sin 2xdx = sin x sin xdx = sin x cos x + cos 2xdx = sin x cos x + 1 sin 2xdx = sin x cos x + x sin 2xdx

*

u = sin xv = sin x u = cos xv = cos x

Отримуємо рiвняння, яке розв’язуємо для sin 2xdx:

sin 2xdx = sin x cos x + x sin 2xdx 2 sin 2xdx = sin x cos x + x| : 2 sin 2xdx = 1 2 sin x cos x + x 2 + C

sin 2xdx = sin x cos x + x sin 2xdx 2 sin 2xdx = sin x cos x + x| : 2 sin 2xdx = 1 2 sin x cos x + x 2 + C

Приклад 4

Обчисли cos(2x) sin(2x)dx

= cos(2x) sin(2x)dx = 1 2 cos 2(2x) sin(2x) cos(2x)dx

cos(2x) sin(2x)dx = 1 2 cos 2(2x) sin(2x) cos(2x)dx

*

u = cos(2x) v = sin(2x) u = 2 sin(2x)v = 1 2 cos(2x)

Розв’язуємо цей вираз як рiвняння для cos(2x) sin(2x)dx:

cos(2x) sin(2x)dx = 1 2 cos 2(2x) sin(2x) cos(2x)dx 2 cos(2x) sin(2x)dx = 1 2 cos 2(2x)| : 2 cos(2x) sin(2x)dx = 1 4 cos 2(2x) + C

cos(2x) sin(2x)dx = 1 2 cos 2(2x) sin(2x) cos(2x)dx 2 cos(2x) sin(2x)dx = 1 2 cos 2(2x)| : 2 cos(2x) sin(2x)dx = 1 4 cos 2(2x) + C

Приклад 5

Обчисли ex (x2 + 3x 4) dx

= ex (x2 + 3x 4) dx = ex (x2 + 3x 4) ex(2x + 3)dx = ex (x2 + 3x 4) (ex(2x + 3) 2exdx ) = ex (x2 + 3x 4) ex(2x + 3) + 2ex + C = ex (x2 + x 5) + C

ex (x2 + 3x 4) dx = ex (x2 + 3x 4) ex(2x + 3)dx = ex (x2 + 3x 4) (ex(2x + 3) 2exdx) = ex (x2 + 3x 4) ex(2x + 3) + 2ex + C = ex (x2 + x 5) + C

*

u = x2 + 3x 4v = ex u = 2x + 3 v = ex

**

z = 2x + 3w = ex z = 2 w = ex

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як інтерпретувати й обчислювати невизначений інтеграл
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як виконувати інтегрування методом підстановки