Що таке таблиці функцій?

Iснують рiзнi типи таблиць функцiй. Тут ти познайомишся з двома з них: один оптимальний для початкiвцiв, а iнший дещо бiльш професiйний. Таблиця функцiй — це таблиця з координатами, якi потрiбно задати в системi координат, щоб побудувати графiк функцiї.

Повна таблиця функцiй має чотири стовпцi: стовпець для значень $x$ , стовпець для обчислення значень $y$ , стовпець, у якому записуються обчисленi значення $y$ , i стовпець для координат, якi ми отримуємо з вибраного значення $x$ i вiдповiдного значення $y$ , на основi яких можна побудувати графiк. Таблиця має такий вигляд:

Таблиця функцiй для y = 2x+3

У першому стовпцi знаходимо значення $x$ , якi потрiбно перевiрити. Чому я обрала саме цi значення? Що ж, те, якi значення потрiбнi, випливає з задачi, в умовах якої часто сказано, якi значення $x$ потрiбно перевiрити. Якщо це не вдається з’ясувати, можна вибрати значення вiд $- 5$ до 5. Для початку цього вистачить.

У другому стовпцi знаходимо функцiю $y = 2 x + 3$ . Це пряма лiнiя. У цьому стовпцi пiдставляємо вибранi значення $x$ у функцiю i обчислюємо значення $y$ . Записуємо вiдповiднi значення $y$ у третьому стовпцi. Якщо обчислити вмiст кожної комiрки другого стовпця, побачимо, що вiдповiдi дорiвнюють значенням, що записанi в третьому стовпцi.

У четвертому стовпцi значення $x$ та $y$ об’єднуються в координати $(x, y)$ . Це координати, якi потрiбно задати в системi координат i провести мiж ними лiнiї, щоб побудувати графiк.

Професiйна таблиця функцiй

Професiйна таблиця функцiй мiстить лише значення, якi потрiбнi, щоб знайти координати i побудувати графiк. Вiдмiннiсть вiд попередньої таблицi функцiй полягає у вiдсутностi стовпцiв 2 i 4. Крiм того, значення в таблицi записуються за горизонталлю, а не за вертикаллю (стовпцi замiнено на рядки). Навiть попри вiдсутнiсть стовпця з координатами бачимо, що таблиця мiстить значення $x$ та $y$ , i саме вони складають координати. Iнакше кажучи, координати $(x, y)$ включенi, просто в дещо iншому виглядi.

Професiйна таблиця функцiй iз значеннями x у першому рядку i значеннями y у другому рядку

Ось графiк iз заданими точками:

Графiк для y = 2x + 3, на якому задано обчисленi точки

Приклад 1

Ленс перебуває у $30 км$ вiд фiнiшної прямої. Вiн їде на велосипедi з постiйною швидкiстю $12 км/год$ . Позначте на графiку кiлькiсть годин i кiлькiсть кiлометрiв до фiнiшної прямої. Через скiльки часу вiн добереться до фiнiшу?

Щоб розв’язати цю задачу, спочатку потрiбно перетворити iнформацiю з завдання на функцiю. Найкраще пiдiйде формула прямої, оскiльки Ленс їде на велосипедi з постiйною швидкiстю. Тут ми бачимо, як слова та вирази перетворюються на математичнi символи.

Розв’язуючи цю задачу, потрiбно мiркувати так: оскiльки в завданнi сказано, що Ленс перебуває за $30$ км вiд фiнiшу i що вiн їде на велосипедi зi швидкiстю $12$ км/год, то його заїзд починається на позначцi $30$ км, i що ближче вiн вiд фiнiшу, то коротшою стає вiдстань. Отже, перетворюємо цю iнформацiю так:

$f (x)$ — це вiдстань до фiнiшу в будь-який момент часу. Ця вiдстань скорочується у мiру наближення Ленса до фiнiшу.
$x$ — це кiлькiсть годин, яку Ленс їде на велосипедi.
$30$ км — це вiдстань, яка вiдраховується у зворотному порядку вiд позначки $0$ км, з якої вiн почав рух до фiнiшу.
$12$ км/год — це швидкiсть Ленса.

Тепер пiдставляємо цi значення у формулу прямої $f (x) = m x + b$ i отримуємо:

f (x) = - 12 x + 30

30 — це вiльний член, оскiльки задано точку початку руху Ленса. $- 12$ — це кутовий коефiцiєнт, оскiльки вiдстань до фiнiшу скорочується на $12$ км за кожну годину, яку Ленс проходить на велосипедi, рухаючись до фiнiшу.

Зверни увагу! Знак мiнус для швидкостi Ленса не означає, що вiн рухається заднiм ходом увесь шлях до фiнiшу. Знак мiнус використовується для зворотного вiдлiку вiд $30$ км до $0$ км. Вiдстань має зменшуватися, а для цього потрiбен знак мiнус.

На основi наведеного вище виразу отримаємо таку таблицю функцiй:


$x$	$y = f (x) = - 12 x + 30$	$(x, y)$

$0$	$f (0) = - 12 \cdot 0 + 30 = 30$	$(0, 30)$

$0.5$	$f (0.5) = - 12 \cdot 0.5 + 30 = 24$	$(0.5, 24)$

$1$	$f (1) = - 12 \cdot 1 + 30 = 18$	$(1, 18)$

$1.5$	$f (1.5) = - 12 \cdot 1.5 + 30 = 12$	$(1.5, 12)$

$2$	$f (2) = - 12 \cdot 2 + 30 = 6$	$(2, 6)$

$2.5$	$f (2.5) = - 12 \cdot 2.5 + 30 = 0$	$(2.5, 0)$

$3$	$f (3) = - 12 \cdot 3 + 30 = - 6$	$(3, - 6)$

З таблицi функцiй бiчимо, що Ленс прибуде до фiнiшу через $x = 2.5$ годин. Оскiльки задача передбачає побудову графiка, потрiбно скласти систему координат, у якiй позначити точки, якi ми обчислили та записали у стовпцi $(x, y)$ , а потiм провести мiж ними лiнiю. Графiк матиме такий вигляд:

Приклад графiка на основi таблицi функцiй

Ленс прийде до фiнiшу, коли координата $y$ дорiвнюватиме 0. Це точка, в якiй графiк перетне вiсь $x$ . Ця точка позначена кружечком. Як бачимо, до фiнiшу лишається $x = 2.5$ години. Отже, вiдповiдь:

Ленс прийде до фiнiшу через $2.5$ години.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке система координат?

Наступна стаття

Знаходження значень x та y функції

Повернутися