Що таке теорема степені точки відносно кола?

Можна використовувати степiнь точки вiдносно кола, щоб знайти довжини та кути геометричних фiгур, якi включають кола.

Ця формула виходить з того, що трикутники $△PBD$ та $△PCA$ подiбнi. Вони подiбнi, тому що в них два рiвнi кути. Це означає, що третiй кут такого самого розмiру. Обидва трикутники мають спiльний кут $\angle P$, а $\angle PBD=\angle PCA$, тому що вони охоплюють один i той самий круговий сектор, сектор мiж точками $A$ та $D$. Це означає, що можна використати вiдношення мiж вiдповiдними сторонами, щоб отримати наведену вище формулу:

$$\begin{array}{llllllll}\hfill \frac{PB}{PC}& =\frac{PD}{PA}& \hfill & |\cdot PA& \hfill & & \hfill & \\ \hfill \frac{PA\cdot PB}{PC}& =PD& \hfill & |\cdot PC& \hfill & & \hfill & \\ \hfill PA\cdot PB& =PD\cdot PC& \hfill & & \hfill & \end{array}$$

Деякi прямi перетинають коло лише в однiй точцi—вони називаються дотичними. Якщо одна iз прямих є дотичною, теорема степенi точки вiдносно кола стає такою

$${(PA)}^2=PC\cdot PD.$$

Це має сенс, тому що можна уявити, що є двi точки перетину $A$ та $B$, якi лежать прямо одна над iншою й знаходяться на однаковiй вiдстанi вiд точки $P$. У такому разi $PB=PA$. Якщо ми вставимо це у вихiдну формулу, отримаємо другу формулу:

$$\begin{array}{llll}\hfill PA\cdot PB& =PC\cdot PD& \hfill & \\ \hfill PA\cdot PA& =PC\cdot PD& \hfill & \\ \hfill {(PA)}^2& =PC\cdot PD& \hfill & \end{array}$$