Перетворення функції в гармонічний осцилятор

Ти можеш стикнутися з ситуацiями, коли потрiбно перетворити функцiї, що мiстять як синуси, так i косинуси, в гармонiчний осцилятор. Тодi потрiбно використати таку формулу:

Формула

Перетворення функцiї в гармонiчний осцилятор

\begin{array}{l} a \sin c x + b \cos c x & = A \sin (c x + ϕ), \\ = A \cos (c x + ϕ^{*}), \end{array}

де

\begin{array}{l} A & = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, \\ \tan ϕ & = \frac{b}{a}, \\ ϕ^{*} & = ϕ - \frac{π}{2}, \end{array}

i $ϕ$ знаходиться в тому самому квадрантi, що й точка $(a, b)$ . Можна визначити, в якому квадрантi знаходиться кут $ϕ$ , порiвнявши його з $\frac{π}{2}$ , $π$ , $\frac{3 π}{2}$ та $2 π$ .

Зверни увагу! Часто корисно накреслити одиничне коло, щоб переконатися, що значення, знайденi для

ϕ

, знаходиться в правильному квадрантi.

Розв’язуючи рiвняння виду

a \sin c x + b \cos c x = d,

гарною iдеєю буде переписати лiву частину у виглядi $A \sin (c x + ϕ)$ .

Приклад 1

Перепиши вираз $\sin 2 x - 4 \cos 2 x$ у гармонiчний осцилятор iз синусом як найпростiшою функцiєю, $f (x) = A \sin (c x + ϕ)$

Щоб переписати рiвняння, потрiбно спершу знайти амплiтуду коливань $A$ та фазу коливань $ϕ$ . Амплiтуда коливань $A$ становить

A = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{17} .

Обчислюючи фазу, потрiбно взяти до уваги знаки $a$ (вiсь $x$ ) та $b$ (вiсь $y$ ). Оскiльки $a > 0$ та $b < 0$ , бачимо, що точка $(a, b)$ знаходиться у четвертому квадрантi. Це означає, що обчислимо фазу коливань так:

\begin{array}{l} \tan ϕ & = \frac{b}{a} = \frac{- 4}{1}, \\ ϕ & = \tan^{- 1} (- 4) \approx - 1.33 + n π \end{array}

Оскiльки $- \frac{π}{2} < - 1.33 < 0$ , $- 1.33$ — це значення $ϕ$ , яке ми шукаємо. Це робить рiвняння подiбним до виду гармонiчного осцилятора:

\sqrt{17} \sin (2 x - 1.33) .

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння

3 \sin 2 x + 4 \cos 2 x = 1 x \in ℝ

Спершу обчислимо $A$ :

A = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 .

Опiсля обчислимо $ϕ$ : $\begin{array}{l} \tan ϕ & = \frac{b}{a} = \frac{4}{3}, \\ ϕ & = \tan^{- 1} (\frac{4}{3}) \approx 0.93 + n π . \end{array}$

Отримаємо, що $ϕ \approx 0.93 + n \cdot π$ . Оскiльки $a > 0$ та $b > 0$ , $ϕ$ має бути у першому квадрантi, тому що $0 < 0.93 < \frac{π}{2} \approx 1.57$ . Отримаємо $ϕ = 0.93$ . Це дає нам

\begin{array}{l} 5 \sin (2 x + 0.93) & = 1 \\ \sin (2 x + 0.93) & = 0.2 . \end{array}

Це рiвняння має такi розв’язки

\begin{array}{l} 2 x_{1} + 0.93 & = \sin^{- 1} 0.2 + n \cdot 2 π \\ \approx 0.2 + n \cdot 2 π, \\ 2 x_{2} + 0.93 & = (π - \sin^{- 1} (0.2)) + n \cdot 2 π \\ \approx (π - 0.2) + n \cdot 2 π . \end{array}

Отримаємо такi два розв’язки:

\begin{array}{l} x_{1} & \approx - 0.365 + n \cdot π, \\ x_{2} & \approx 1.01 + n \cdot π \end{array}

Приклад 3

Перепиши вираз $2 \sin x + 3 \cos x$ як гармонiчний осцилятор з косинусом як найпростiшою функцiю, $f (x) = A \cos (c x + ϕ^{*})$

Зверни увагу! Якщо ми бажаємо отримати функцiю косинуса, потрiбно вiдняти $\frac{π}{2}$ вiд значення, обчисленого для $ϕ$ , за допомогою функцiї $\tan$ . Отримаємо $ϕ^{*} = ϕ - \frac{π}{2}$ . Спочатку обчислюємо амплiтуду коливань $A$ :

A = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13} .

Обчислюючи фазу коливань, потрiбно взяти до уваги знак $a$ (вiсь $x$ ) та $b$ (вiсь $y$ ). Оскiльки $a > 0$ та $b > 0$ , перебуваємо в першому квадрантi, й можна обчислити фазу таким чином: