Що таке гармонічний осцилятор?

Гармонiчний осцилятор — це хвиля, яка має постiйний перiод та амплiтуду для всiх своїх коливань. Цi коливання особливо важливi у фiзицi та пiд час розв’язування диференцiальних рiвнянь. Вираз для гармонiчного осцилятора — це найпростiший тип коливань, з яким ти стикнешся.

рафiк гармонiчного осцилятора з перiодом i фазовим зсувом

Теорiя

Гармонiчний осцилятор

Гармонiчний осцилятор — це хвиля, задана виразом

y = A \sin (c x + ϕ) + d,

де

\begin{array}{l} d & = точка рiвноваги, \\ | A | & = амплiтуда коливань, \\ \frac{ϕ}{c} & = фаза коливань, \\ \frac{2 π}{c} & = перiод коливань . \end{array}

Точка рiвноваги — це точка рiвноваги графiка. Це означає, що графiк знаходиться настiльки вище за цю точку, наскiльки й нижче за неї. Можна обчислити рiвновагу функцiї синуса, знайшовши середнє значення максимуму та мiнiмуму графiка.

Формула

Точка рiвноваги

d = \frac{y_{max} + y_{min}}{2}

Амплiтуда коливань — це вiдстань мiж максимумом/мiнiмумом функцiї та точкою рiвноваги. Щоб знайти амплiтуду, треба вимiряти вiдстань мiж максимумом i мiнiмумом та роздiлити її на два.

Формула

Амплiтуда коливань

A = \frac{y_{max} - y_{min}}{2}

Число $c$ попереду $x$ показує, наскiльки швидко коливається графiк—— це означає, що воно визначає перiод коливань $P$ графiка. Зв’язок мiж $P$ та $c$ такий: $P \cdot c = 2 π$ . Щоб визначити перiод, треба знайти рiзницю мiж двома послiдовними максимумами або мiнiмумами $x_{1}$ та $x_{2}$ .

Формула

Перiод коливань

P = \frac{2 π}{c} = x_{2} - x_{1}

Фаза коливань означає, наскiльки графiк змiщений по осi $x$ стосовно найпростiшої функцiї синуса чи косинуса. Значення фази — це $\frac{ϕ}{c}$ . Для функцiї синуса це означає, що $\frac{ϕ}{c}$ — це вiдстань мiж 0 i найближчою точкою, в якiй висхiдний графiк проходить точку рiвноваги.

Формула

Фаза коливань

\frac{ϕ}{c}

Фаза коливань позитивна, якщо $\frac{ϕ}{c} < 0$ . Це означає, що графiк змiщений праворуч.

Фаза коливань негативна, якщо $\frac{ϕ}{c} > 0$ . Це означає, що графiк змiщений лiворуч.

Приклад 1

Знайди вираз для наведеного вище графiка. Використай функцiю синуса.

Почнемо зi знаходження точки рiвноваги. Максимум становить $y_{max} = 6$ , а мiнiмум $y_{min} = - 2$ . Це означає, що точка рiвноваги

d = \frac{6 + (- 2)}{2} = 2 .

Далi обчислюємо амплiтуду коливань:

A = \frac{6 - (- 2)}{2} = 4 .

З графiка бачимо, що функцiя має максимум за $x = \frac{1}{2}$ i наступний максимум за $x = \frac{9}{2}$ . Так отримуємо перiод коливань

\frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4 .

Тепер, коли знаємо перiод, також можна знайти $c$ :

p = \frac{2 π}{c} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4 \Leftrightarrow c = \frac{2 π}{4} = \frac{π}{2} .

Насамкiнець треба визначити фазу коливань $ϕ$ . З графiка бачимо, що першого разу, коли графiк пiднiмається вище за точку рiвноваги пiсля $x = 0$ , — це, коли $x = \frac{7}{2}$ . Отримаємо

\frac{ϕ}{c} = \frac{7}{2} \Leftrightarrow ϕ = \frac{7}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{7 π}{4} .

Оскiльки графiк змiщений праворуч, то $ϕ < 0$ , а, тому, треба змiнити знак $ϕ = - \frac{7 π}{4}$ . Тепер можна представити графiк як функцiю синуса:

y = A \sin (c x + ϕ) + d = 4 \sin (\frac{π}{2} x + \frac{7 π}{4}) + 2 .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке тригонометричні функції?

Наступна стаття

Перетворення функції в гармонічний осцилятор

Повернутися