Що таке теорема Баєса?

Теорема Баєса описує пошук $P (A ∣ B)$ , якщо ми вже знаємо $P (B ∣ A)$ , $P (A)$ i $P (B)$ . Це дуже корисно в побутi, як видно з прикладу нижче. Теорема Баєса має такий вигляд:

Формула

Теорема Баєса

P (A ∣ B) = \frac{P (A) \cdot P (B ∣ A)}{P (B)}

У багатьох завданнях $P (B)$ не дається. У цьому випадку знаходимо його в такий спосiб:

\begin{array}{l} P (B) & = P (A \cap B) + P (\overset{}{A} \cap B) \\ = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overset{}{A}) \cdot P (B ∣ \overset{}{A}) \end{array}

Ми називаємо це законом повної ймовiрностi.

Приклад 1

У Сполучених Штатах полiцiя використовує пiд час допитiв детектори брехнi, або полiграфи, щоб спробувати визначити, чи каже свiдок правду. Пiд час дослiдження детекторiв брехнi було з’ясовано:

Якщо особа бреше, ймовiрнiсть того, що детектор брехнi виявить брехню, складає $90 %$ .

Якщо особа каже правду, iснує ймовiрнiсть $15 %$ , що детектор брехнi вирiшить, що вона бреше.

Свiдка у кримiнальнiй справi пiд’єднали до детектора брехнi, який показав, що свiдок бреше. Якщо ймовiрнiсть брехнi складає $25 %$ , то яка ймовiрнiсть того, що показання детектора брехнi є iстинним?

У цьому прикладi потрiбно застосувати теорему Баєса. Просто сконцентруйся i виконуй процедуру крок за кроком.

1.

Передусiм запиши висновок з iнформацiї, яка тобi вiдома:

\begin{array}{l} L & = особа бреше, \\ T & = особа каже правду, \\ A_{L} & = детектор брехнi виявив брехню, \\ A_{T} & = детектор брехнi виявив правду . \end{array}

2.

Як ти знаєш,

P (L) = 0.25

. Отримуємо

P (T) = 1 - P (L) = 0.75 .

3.

Крiм того, ти знаєш, що

P (A_{L} ∣ L) = 0.90

P (A_{L} ∣ T) = 0.15

Потрiбно з’ясувати умовну ймовiрнiсть

P (L ∣ A_{L})

. Тут ми i застосовуємо теорему Баєса, але спершу потрiбно розрахувати

P (A_{L})

згiдно з законом повної ймовiрностi. Пiдставляємо формулу цiєї ймовiрностi прямо в теорему Баєса, хоча зручнiше буде спершу розрахувати її окремо. Робимо це так:

\begin{array}{l} P (A_{L}) & = P (L) \cdot P (A_{L} ∣ L) + P (T) \cdot P (A_{L} ∣ T) \\ = 0.25 \cdot 0.90 + 0.75 \cdot 0.15 \\ = 0.3375 . \end{array}

Пiсля цього пiдставляємо всi вiдомi числа в теорему Баєса i знаходимо розв’язок.

\begin{array}{l} P (L ∣ A_{L}) & = \frac{P (L) \cdot P (A_{L} ∣ L)}{P (A_{L})} \\ = \frac{0.25 \cdot 0.90}{0.3375} \\ = 0.67 . \end{array}

Iмовiрнiсть того, що свiдок дiйсно бреше, якщо детектор брехнi показує, що свiдок бреше, становить лише $0.67$ . Не надто переконливо!

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке деревні діаграми в математиці?

Повернутися