Що таке деревні діаграми в математиці?

Деревна дiаграма — це дiаграма, на якiй чiтко та зручно представленi багатократнi випробування. Гiлки дерева вiдповiдають iмовiрностям можливих результатiв кожного випробування.

Теорiя

Деревна дiаграма

Деревна дiаграма — це чудовий спосiб структурувати рiзнi результати у разi багатократних випробувань. Це також зручний спосiб продемонструвати, скiльки результатiв мають багатократнi випробування. У разi проведення дуже великої кiлькостi випробувань деревна дiаграма буде завеликою i не зможе повноцiнно вiдобразити результати.

Важливi аспекти деревних дiаграм:

1.
Якщо рухатися вздовж гiлки, то потрiбно множити ймовiрностi кожного результату кожного випробування.
2.
Якщо подiї вiдповiдає декiлька гiлок, то потрiбно додати ймовiрностi для цих гiлок.

На деревнiй дiаграмi нижче видно, що p1 i p2 — це ймовiрностi двох можливих результатiв кожного випробування. Щоб з’ясувати ймовiрностi можливих результатiв багатократних випробувань, потрiбно об’єднати їх, помноживши мiж собою релевантнi результати.

Як бачимо з деревної дiаграми, якщо є два випробування, кожне з яких має два можливих результати, то можливi результати багатократних випробувань мають iмовiрнiсть p1p1, p1p2, p2p1 i p2p2.

Деревна дiаграма для двох випробувань, кожне з яких має два можливих результати

Приклад 1

Зобрази рiзнi можливi результати трикратного кидання монетки у виглядi деревної дiаграми

Кожне пiдкидання монети може мати два результати: орел (О) i решка (Р). Отже, отримуємо

2 2 2 = 8

можливих результатiв трикратного пiдкидання монети. Це можна легко проiлюструвати за допомогою деревної дiаграми:

Деревна дiаграма ймовiрностей орла або решки пiд час пiдкидання монети

Приклад 2

Деревна дiаграма

Iмовiрнiсть народити дiвчинку складає 0.486, а ймовiрнiсть народити хлопчика — 0.514. Iмовiрнiсть того, що дитина народиться з дальтонiзмом, складає 0.044. Побудуй деревну дiаграму, на якiй вiдобрази ймовiрностi того, що народиться дiвчинка або хлопчик iз дальтонiзмом або без нього.

Iз тексту видно, що випробування стосуються статi та дальтонiзму. Отримуємо такi ймовiрностi:

  • Випробування щодо статi майбутньої дитини має два можливих результати: хлопчик або дiвчинка.

  • Випробування щодо наявностi або вiдсутностi в дитини дальтонiзму також має два можливих результати: є дальтонiзм або немає дальтонiзму.

Ми вже знаємо ймовiрнiсть того, хлопчик народиться чи дiвчинка, але досi iснує ймовiрнiсть, що дитина народиться з дальтонiзмом. Це означає, що потрiбно з’ясувати ймовiрнiсть того, що дитина не матиме дальтонiзму. Наявнiсть i вiдсутнiсть дальтонiзму — це взаємодоповнювальнi подiї, а отже, отримуємо

P (немає дальтонiзму) + P (є дальтонiзм) = 1.

Знаходимо ймовiрнiсть:

P (немає дальтонiзму) + 0.044 = 1 P (немає дальтонiзму) = 1 0.044 = 0.956

Якщо впорядкувати цi данi у виглядi деревної дiаграми, стає очевидним, що потрiбно помножити числа вздовж кожної гiлки. Результатна деревна дiаграма матиме такий вигляд:

Деревна дiаграма ймовiрностей дальтонiзму в новонароджених рiзних статей

Виконуємо розрахунки:

P (хлопчик без дальтонiзму) = 0.514 0.956 = 0.491 P (дiвчинка без дальтонiзму) = 0.486 0.956 = 0.465 P (хлопчик iз дальтонiзмом) = 0.514 0.044 = 0.023 P (дiвчинка з дальтонiзмом) = 0.486 0.044 = 0.021

P (хлопчик без дальтонiзму) = 0.514 0.956 = 0.491 P (дiвчинка без дальтонiзму) = 0.486 0.956 = 0.465 P (хлопчик iз дальтонiзмом) = 0.514 0.044 = 0.023 P (дiвчинка з дальтонiзмом) = 0.486 0.044 = 0.021

Це дасть змогу зчитати ймовiрностi того, що народиться хлопчик або дiвчинка з дальтонiзмом або без нього, одразу з деревної дiаграми.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!