Що таке деревні діаграми в математиці?

Деревна дiаграма — це дiаграма, на якiй чiтко та зручно представленi багатократнi випробування. Гiлки дерева вiдповiдають iмовiрностям можливих результатiв кожного випробування.

Теорiя

Деревна дiаграма

Деревна дiаграма — це чудовий спосiб структурувати рiзнi результати у разi багатократних випробувань. Це також зручний спосiб продемонструвати, скiльки результатiв мають багатократнi випробування. У разi проведення дуже великої кiлькостi випробувань деревна дiаграма буде завеликою i не зможе повноцiнно вiдобразити результати.

Важливi аспекти деревних дiаграм:

1.: Якщо рухатися вздовж гiлки, то потрiбно множити ймовiрностi кожного результату кожного випробування.
2.: Якщо подiї вiдповiдає декiлька гiлок, то потрiбно додати ймовiрностi для цих гiлок.

На деревнiй дiаграмi нижче видно, що $p_{1}$ i $p_{2}$ — це ймовiрностi двох можливих результатiв кожного випробування. Щоб з’ясувати ймовiрностi можливих результатiв багатократних випробувань, потрiбно об’єднати їх, помноживши мiж собою релевантнi результати.

Як бачимо з деревної дiаграми, якщо є два випробування, кожне з яких має два можливих результати, то можливi результати багатократних випробувань мають iмовiрнiсть $p_{1} p_{1}$ , $p_{1} p_{2}$ , $p_{2} p_{1}$ i $p_{2} p_{2}$ .

Деревна дiаграма для двох випробувань, кожне з яких має два можливих результати

Приклад 1

Зобрази рiзнi можливi результати трикратного кидання монетки у виглядi деревної дiаграми

Кожне пiдкидання монети може мати два результати: орел (О) i решка (Р). Отже, отримуємо

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

можливих результатiв трикратного пiдкидання монети. Це можна легко проiлюструвати за допомогою деревної дiаграми:

Деревна дiаграма ймовiрностей орла або решки пiд час пiдкидання монети

Приклад 2

Деревна дiаграма

Iмовiрнiсть народити дiвчинку складає $0.486$ , а ймовiрнiсть народити хлопчика — $0.514$ . Iмовiрнiсть того, що дитина народиться з дальтонiзмом, складає $0.044$ . Побудуй деревну дiаграму, на якiй вiдобрази ймовiрностi того, що народиться дiвчинка або хлопчик iз дальтонiзмом або без нього.

Iз тексту видно, що випробування стосуються статi та дальтонiзму. Отримуємо такi ймовiрностi:

Випробування щодо статi майбутньої дитини має два можливих результати: хлопчик або дiвчинка.
Випробування щодо наявностi або вiдсутностi в дитини дальтонiзму також має два можливих результати: є дальтонiзм або немає дальтонiзму.

Ми вже знаємо ймовiрнiсть того, хлопчик народиться чи дiвчинка, але досi iснує ймовiрнiсть, що дитина народиться з дальтонiзмом. Це означає, що потрiбно з’ясувати ймовiрнiсть того, що дитина не матиме дальтонiзму. Наявнiсть i вiдсутнiсть дальтонiзму — це взаємодоповнювальнi подiї, а отже, отримуємо

P (немає дальтонiзму) + P (є дальтонiзм) = 1 .

Знаходимо ймовiрнiсть:

\begin{array}{l} P (немає дальтонiзму) + 0.044 & = 1 \\ P (немає дальтонiзму) & = 1 - 0.044 \\ = 0.956 \end{array}

Якщо впорядкувати цi данi у виглядi деревної дiаграми, стає очевидним, що потрiбно помножити числа вздовж кожної гiлки. Результатна деревна дiаграма матиме такий вигляд:

Деревна дiаграма ймовiрностей дальтонiзму в новонароджених рiзних статей

Виконуємо розрахунки:

\begin{array}{l} P (хлопчик без дальтонiзму) & = 0.514 \cdot \\ 0.956 \\ = 0.491 \\ P (дiвчинка без дальтонiзму) & = 0.486 \cdot \\ 0.956 \\ = 0.465 \\ P (хлопчик iз дальтонiзмом) & = 0.514 \cdot \\ 0.044 \\ = 0.023 \\ P (дiвчинка з дальтонiзмом) & = 0.486 \cdot \\ 0.044 \\ = 0.021 \end{array}

\begin{array}{l} P (хлопчик без дальтонiзму) & = 0.514 \cdot 0.956 \\ = 0.491 \\ P (дiвчинка без дальтонiзму) & = 0.486 \cdot 0.956 \\ = 0.465 \\ P (хлопчик iз дальтонiзмом) & = 0.514 \cdot 0.044 \\ = 0.023 \\ P (дiвчинка з дальтонiзмом) & = 0.486 \cdot 0.044 \\ = 0.021 \end{array}

Це дасть змогу зчитати ймовiрностi того, що народиться хлопчик або дiвчинка з дальтонiзмом або без нього, одразу з деревної дiаграми.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Ланцюгове правило для умовних імовірностей

Наступна стаття

Що таке теорема Баєса?

Повернутися