Що таке центральна гранична теорема?

Ти проводиш $n$ незалежних випробувань iз однаковою випадковою величиною $X$ з математичним сподiванням $μ$ i стандартним вiдхиленням $σ$ . Тодi ти зможеш додати випадковi величини — i сума $S$ буде приблизно нормально розподiленою за умови, що $n$ достатньо велике.

Правило

Центральна гранична теорема

S = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

має математичне сподiвання

E (S) = n \cdot μ

i стандартне вiдхилення

SD (S) = \sqrt{n} \cdot σ .

Приклад 1

Нехай $X_{i}$ — це випадково вiдiбраний сир у вiддiлi сирiв. Математичне сподiвання для цього сиру становить $μ = 1.2 к г$ , а стандартне вiдхилення — $σ = 0.3 к г$ . Якщо дозволити $S$ позначати суму для 50 таких сирiв, то яким буде математичне сподiвання i стандартне вiдхилення для $S$ ?

Ми знаємо, що

E (S) = E (X_{1}) + E (X_{2}) + \dots + E (X_{50}), = n \cdot μ

i що математичне сподiвання становить

E (S) = 50 \cdot 1.2 = 60 .

Ми також знаємо, що

\begin{array}{l} Var (S) & = Var (X_{1}) + Var (X_{2}) + \\ \dots + Var (X_{50}) \\ = n σ^{2}, \end{array}

\begin{array}{l} Var (S) = Var (X_{1}) + Var (X_{2}) + \dots + Var (X_{50}) = n σ^{2}, \end{array}

тож отримуємо стандартне вiдхилення

SD (S) = \sqrt{n} σ = \sqrt{50} \cdot 0.3 = 2.12 .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке нормальний розподіл у статистиці?

Повернутися