Відносна частота і закон великих чисел

Зараз ти познайомишся з вiдносною частотою, поняття якої тiсно пов’язане iз законом великих чисел.

Ранiше ми з’ясували, що ймовiрнiсть того, що на гральному кубику випаде п’ять очок, становить $\frac{1}{6}$. Але звiдки ми знаємо, що вона становить саме $\frac{1}{6}$?

Якщо кинути кубик 12 разiв, п’ять може й не випасти точно в $\frac{1}{6}$ випадкiв. Пiсля 12 кидкiв iмовiрнiсть становитиме

$$12\cdot \frac{1}{6}=\frac{12}{6}=2$$

випадки. П’ятiрка може випасти п’ять разiв, тричi або й не випасти взагалi.

Щоб пояснити, чому ймовiрнiсть викинути п’ять очок на кубику становить $\frac{1}{6}$, потрiбно вивчити два нових поняття: вiдносна частота й симуляцiя.

Вiдносна частота

Уявiмо, що ми кинули гральний кубик 12 разiв i записали, скiльки разiв випали п’ять очок. Вiдносна частота — це спiввiдношення мiж тим, скiльки разiв випало п’ять (кiлькiстю сприятливих результатiв), i тим, скiльки разiв ми кинули кубик (кiлькiстю випробувань). Якщо п’ять випало тричi, то вiдносна частота становить

$$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0.25.$$

Це значно бiльше, нiж очiкувалось, а саме $\frac{1}{6}$. Дiзнаймося, чому.

Вiдносна частота отримання на кубику п’яти очок не обов’язково має дорiвнювати ймовiрностi ($\frac{1}{6}\ne \frac{1}{4}$). Але якщо кидати кубик багато разiв, наприклад $100000$ або $1000000$ разiв, вiдносна частота отримання п’яти очок зрiвняється з iмовiрнiстю отримання п’яти очок.

Вiдносна частота наближається до ймовiрностi у разi дуже великої кiлькостi випробувань!

Закон великих чисел

Середнiй вiк людей в Українi становить близько 42 рокiв. Ти особисто запитуєш у людей їхнiй вiк. Пiсля кожної вiдповiдi обчислюєш середнiй вiк людей, яких опитав/опитала. Скiлькох людей потрiбно опитати, щоб середнiй вiк становив 42 роки? Можливо, достатньо опитати п’ятьох людей. Але що як цi п’ятеро — однолiтки з молодших класiв середньої школи? У цьому разi середнiй вiк населення точно не становитиме 42 роки.

Очевидно, що вiдповiдь буде 42, лише якщо опитати достатню кiлькiсть людей. Але яка кiлькiсть буде достатньою?

З подiбними питаннями й має справу закон великих чисел.

Окрiм випадкiв, коли випробовується щось дуже малоймовiрне, достатньо провести вiд $1000$ до $10000$ випробувань. Складно буде опитати $10000$ випадкових людей в Українi про їхнiй вiк i не отримати цифру, наближену до 42.

Я склала графiк вiдносної частоти випадання п’яти очок пiд час кидання грального кубика. На осi $x$ бачимо кiлькiсть кидкiв, що вiдповiдає кiлькостi випробувань, а на осi $y$ — вiдносну частоту отримання п’яти очок. Синя лiнiя вiдображає теоретичну ймовiрнiсть випадання п’яти очок пiд час кидання одного кубика.

Як бачимо з графiку, приблизно через $1500$ кидкiв вiдносна частота стабiлiзувалася, наблизившись до фактичної ймовiрностi. Далi наведу кiлька прикладiв, у яких важливо знати закон великих чисел.

Симуляцiя

Кидання кубика $1000000$ разiв, щоб визначити, скiльки разiв випаде п’ять, — досить утомлива й дуже трудомiстка справа. Але якщо все ж за неї взятися, то п’ять випаде близько $166667$ разiв. Отже, вiдносна частота складає $\frac{166667}{1000000}\approx \frac{1}{6}$. Як бачимо, частота точно дорiвнює ймовiрностi! Щоб не мусити кидати кубик $1000000$ разiв, натомiсть краще провести симуляцiю. У цьому разi експеримент замiсть тебе проводитиме комп’ютерна програма.

Симуляцiя означає iмiтацiю реального експерименту за допомогою комп’ютерної програми. Ми можемо зiмiтувати кидання кубика на комп’ютерi i за дуже короткий час повторити цю дiю багато-багато разiв. У цей спосiб ми зможемо визначити ймовiрнiсть подiї за допомогою комп’ютера. Комп’ютер розрахує вiдносну частоту для настiльки великого значення $N$, щоб вiдносна частота зрiвнялася з iмовiрнiстю.

Комп’ютер — надзвичайно важливий iнструмент пiд час роботи з iмовiрнiстю.