Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Розкладання виразiв на множники


Пiд час математичного вишколу «Круглi дужки», ти вже дiзнався/дiзналася, що

2(1 + 2) = 2 + 4,

й що

x(2 3) = 2x 3x,

але звiдки нам вiдомо, що 2 + 4 = 2(1 + 2)? Тут ти познайомишся з обчисленням у порядку, зворотному до того, який ми вивчили досi.

Круглi дужки та вирази

Якщо ми маємо вираз, який треба розкласти на множники, то використовуємо такий метод:

Правило

Розкладання виразiв на множники

1.
Розклади всi числа у виразi на простi числа.
2.
Якщо всi числа мають спiльний множник (або декiлька спiльних множникiв), виносимо спiльний множник (або спiльнi множники) назовнi, а вираз заносимо в круглi дужки.
3.
Усi числа в дужках потрiбно роздiлити на цей множник.

Найкраще розглянути це на прикладi:

Приклад 1

Числовi вирази

Розклади на множники вираз 2 + 4

Якщо дотримуватимемося метода, наведеного вище, маємо 2 = 2 × 1 та 4 = 2 × 2. Тому

2 + 4 = 2 × 1 + 2 × 2

Тут 2 — це спiльний множник, який можна винести за дужки; тому треба подiлити на 2 кожен iз доданкiв, що знаходяться всерединi круглих дужок:

2 × 1 + 2 × 2 = 2(2 × 1 + 2 × 2) = 2(1 + 2)

2 × 1 + 2 × 2 = 2(2 × 1 + 2 × 2) = 2(1 + 2)

Потрiбно перевiрити, чи два вирази дають однакову вiдповiдь. У лiвiй частинi маємо 2 + 4 = 6, а в правiй частинi маємо 2(1 + 2) = 2 × 3 = 6. Оскiльки вiдповiдi рiвнi, це означає, що вираз розкладено на множники правильно.

Розкладання на множники має напрочуд багато застосувань, i пiд час вивчення цiєї тими ти познайомишся з деякими з них.

Часто потрiбно винести декiлька множникiв за дужки. Ось приклад:

Приклад 2

Многочлени

Розклади на множники вираз 3x 6x + 12x

Розклавши на множники кожний iз доданкiв, отримаємо 3x = 3 × 1 × x 6x = 3 × 2 × x 12x = 3 × 2 × 2 × x

Спiльними множниками всiх доданкiв є 3 та x. Це означає, що одержимо

= 3x 6x + 12x = 3 × x 3 × 2 × x + 3 × 2 × 2 × x = 3 × x(1 2 + 2 × 2) = 3x(1 2 + 4)

3x 6x + 12x = 3 × x 3 × 2 × x + 3 × 2 × 2 × x = 3 × x(1 2 + 2 × 2) = 3x(1 2 + 4)

Легко перевiрити, що 3x(1 2 + 4) = 3x 6x + 12x. Це означає, що ми отримали правильну вiдповiдь (спробуй обчислити самотужки).

Тому маємо таке правило:

Правило

Розкладання виразiв на множники

ab + ac = a(b + c) ab ac = a(b c)

Ось приклад iз показниками степеня:

Приклад 3

Розклади на множники вираз 12a2 + 3a3 + 6a5 + 24a

Розклавши на множники кожний iз доданкiв поокремо, ми побачимо, що 3 та a - це спiльнi множники всiх доданкiв (спробуй обчислити самотужки).

Тому одержимо такий вираз

= 12a2 + 3a3 + 6a5 + 24a = 3a (4a + a2 + 2a4 + 8) .

12a2 + 3a3 + 6a5 + 24a = 3a (4a + a2 + 2a4 + 8) .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Розкладання на множники дробів