Які відмінності між логічним наслідком та еквівалентністю?

Логiчний наслiдок ( , ) та еквiвалентнiсть () — це два дуже важливi логiчнi оператори. У цiй статтi ти познайомишся з цими символами та з тим, як вони використовуються в математицi.

Логiка — це наука про правильне мислення. Вона потребує правильних та обґрунтованих мiркувань, висновкiв i доведень, що слiдують iз правил, принципiв, законiв та припущень. Логiка бере свiй початок iз часiв Арiстотеля. У математицi ми використовуємо основи логiки.

То як же все це пов’язано? Можливо, ти вже мав/мала справу з логiкою, навiть не замислюючись над цим. Розв’язування рiвнянь — це завдання на логiку. Ми шукаємо розв’язок, за якого справджуються рiвнiсть. Логiка — дуже цiкава наука. Ось два приклади того, як можуть виглядати логiчний наслiдок та еквiвалентнiсть:

Стрiлка логiчного наслiдку ( , ), означає «якщо ..., то». Ось приклад:

Якщо Тарас Тополя солiст гурту «Антитiла», то вiн учасник гурту «Антитiла».

Знак еквiвалентностi ( ) означає «тодi й тiльки тодi, якщо». Ось приклад:

2x = 4 тодi й тiльки тодi, якщо x = 2.

Загалом маємо таке:

Теорiя

Логiчний наслiдок

p q

У цьому випадку твердження q завжди справджується, якщо правильним є твердження p. Ми кажемо, що «iз p слiдує q» або «якщо p, то q».

Логiчний висновок справджується лише в одному напрямку. Це означає, що q завжди правильне, якщо правильним є p. Але навiть якщо q правильне, це не обов’язково означає, що правильним є p.

Приклад 1

Розгляньмо таке речення:

Якщо Наталка мешкає в Києвi, це означає, що вона живе в Українi.

(p q, але не p q)

Якщо Наталка живе в Українi, вона не обов’язково мешкає в Києвi.

Це твердження є логiчним наслiдком, тому що воно абсолютно правильне тiльки в одному напрямку. Ми не можемо дiйти висновку, що оскiльки Наталка живе в Українi, вона обов’язково мешкає в Києвi. Наприклад, вона може мешкати в Одесi.

Приклад 2

Розгляньмо таке речення:

Коли йде дощ, вулиця стає мокрою.

(p q, але не p q)

Якщо вулиця мокра, то не обов’язково через дощ.

Вулиця могла намокнути через те, що хтось поблизу поливав газон.

Теорiя

Еквiвалентнiсть

p q

У цьому випадку твердження q справджується, якщо правильним є p (p q), й твердження p справджується, якщо правильним є твердження (p q).

Кажемо, що p еквiвалентне q, оскiльки цей логiчний наслiдок справджується в обидвох напрямках. Маємо «p тодi й тiльки тодi, якщо q». Еквiвалентнiсть двох тверджень один одному означає, що ми маємо логiчну еквiвалентнiсть.

Приклад 3

Розгляньмо родиннi зв’язки мiж Девiдом Бекхемом i його сином Бруклiном Бекхемом.

Бруклiн — син Девiда тодi й тiльки тодi, якщо Девiд — батько Бруклiна.

(p q)

Те, що Бруклiн є сином Девiда, еквiвалентне тому, що Девiд є батьком Бруклiна. Можна роздiлити цю еквiвалентнiсть на два логiчнi наслiдки:

Якщо Бруклiн — син Девiда, то Девiд — батько Бруклiна.

(p q)

Отже, з твердження Бруклiн — син Девiда слiдує, що Девiд — батько Бруклiна. Крiм того:

Якщо Девiд — батько Бруклiна, то Бруклiн — син Девiда.

(p q)

Отже, iз твердження Девiд — це син Бруклiна слiдує, що Бруклiн — син Девiда.

Оскiльки цей логiчний наслiдок справджується в обидвох напрямках, цi твердження є еквiвалентними.

Приклад 4

Розгляньмо таке твердження:

У трикутнику всi кути рiвнi тодi й тiльки тодi, якщо всi сторони однакової довжини.

(p q)

Ця логiчна еквiвалентнiсть складається з двох логiчних наслiдкiв (тут p = «у трикутнику всi кути рiвнi», а q = «всi сторони однакової довжини»):

Якщо в трикутнику всi кути рiвнi, то всi сторони однакової довжини.

(p q)

та

Якщо в трикутнику всi сторони однакової довжини, то всi кути рiвнi.

(p q)

Зверни увагу, що навiть якщо еквiвалентнiсть правильна, самi два твердження не обов’язково повиннi бути правильними. Iснують трикутники, якi не є рiвностороннiми. Еквiвалентнiсть означає, що якщо правильне одне твердження, то справджується й iнше твердження, й навпаки. Отже, якщо нам вiдомо, що трикутник рiвностороннiй, то ми також знаємо, що всi кути в ньому рiвнi, а якщо нам вiдомо, що в трикутнику всi кути рiвнi, то всi сторони повиннi бути однакової довжини.

Приклад 5

Якщо 2x = 4, то x = 2. Це означає, що

2x = 4 x = 2.

Але ми також знаємо, що якщо f x = 2, то 2x = 4. Це означає, що

2x = 4 x = 2.

Оскiльки цi логiчнi наслiдки справджуються в обидвох напрямках, твердження еквiвалентнi, й ми записуємо

2x = 4 x = 2.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!