Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Якi вiдмiнностi мiж логiчним наслiдком та еквiвалентнiстю?


Логiчний наслiдок ( , ) та еквiвалентнiсть () — це два дуже важливi логiчнi оператори. У цiй статтi ти познайомишся з цими символами та з тим, як вони використовуються в математицi.

Логiка — це наука про правильне мислення. Вона потребує правильних та обґрунтованих мiркувань, висновкiв i доведень, що слiдують iз правил, принципiв, законiв та припущень. Логiка бере свiй початок iз часiв Арiстотеля. У математицi ми використовуємо основи логiки.

То як же все це пов’язано? Можливо, ти вже мав/мала справу з логiкою, навiть не замислюючись над цим. Розв’язування рiвнянь — це завдання на логiку. Ми шукаємо розв’язок, за якого справджуються рiвнiсть. Логiка — дуже цiкава наука. Ось два приклади того, як можуть виглядати логiчний наслiдок та еквiвалентнiсть:

Стрiлка логiчного наслiдку ( , ), означає «якщо ..., то». Ось приклад:

Якщо Тарас Тополя солiст гурту «Антитiла», то вiн учасник гурту «Антитiла».

Знак еквiвалентностi ( ) означає «тодi й тiльки тодi, якщо». Ось приклад:

2x = 4 тодi й тiльки тодi, якщо x = 2.

Загалом маємо таке:

Теорiя

Логiчний наслiдок

p q

У цьому випадку твердження q завжди справджується, якщо правильним є твердження p. Ми кажемо, що «iз p слiдує q» або «якщо p, то q».

Логiчний висновок справджується лише в одному напрямку. Це означає, що q завжди правильне, якщо правильним є p. Але навiть якщо q правильне, це не обов’язково означає, що правильним є p.

Приклад 1

Розгляньмо таке речення:

Якщо Наталка мешкає в Києвi, це означає, що вона живе в Українi.

(p q, але не p q)

Якщо Наталка живе в Українi, вона не обов’язково мешкає в Києвi.

Це твердження є логiчним наслiдком, тому що воно абсолютно правильне тiльки в одному напрямку. Ми не можемо дiйти висновку, що оскiльки Наталка живе в Українi, вона обов’язково мешкає в Києвi. Наприклад, вона може мешкати в Одесi.

Приклад 2

Розгляньмо таке речення:

Коли йде дощ, вулиця стає мокрою.

(p q, але не p q)

Якщо вулиця мокра, то не обов’язково через дощ.

Вулиця могла намокнути через те, що хтось поблизу поливав газон.

Теорiя

Еквiвалентнiсть

p q

У цьому випадку твердження q справджується, якщо правильним є p (p q), й твердження p справджується, якщо правильним є твердження (p q).

Кажемо, що p еквiвалентне q, оскiльки цей логiчний наслiдок справджується в обидвох напрямках. Маємо «p тодi й тiльки тодi, якщо q». Еквiвалентнiсть двох тверджень один одному означає, що ми маємо логiчну еквiвалентнiсть.

Приклад 3

Розгляньмо родиннi зв’язки мiж Девiдом Бекхемом i його сином Бруклiном Бекхемом.

Бруклiн — син Девiда тодi й тiльки тодi, якщо Девiд — батько Бруклiна.

(p q)

Те, що Бруклiн є сином Девiда, еквiвалентне тому, що Девiд є батьком Бруклiна. Можна роздiлити цю еквiвалентнiсть на два логiчнi наслiдки:

Якщо Бруклiн — син Девiда, то Девiд — батько Бруклiна.

(p q)

Отже, з твердження Бруклiн — син Девiда слiдує, що Девiд — батько Бруклiна. Крiм того:

Якщо Девiд — батько Бруклiна, то Бруклiн — син Девiда.

(p q)

Отже, iз твердження Девiд — це син Бруклiна слiдує, що Бруклiн — син Девiда.

Оскiльки цей логiчний наслiдок справджується в обидвох напрямках, цi твердження є еквiвалентними.

Приклад 4

Розгляньмо таке твердження:

У трикутнику всi кути рiвнi тодi й тiльки тодi, якщо всi сторони однакової довжини.

(p q)

Ця логiчна еквiвалентнiсть складається з двох логiчних наслiдкiв (тут p = «у трикутнику всi кути рiвнi», а q = «всi сторони однакової довжини»):

Якщо в трикутнику всi кути рiвнi, то всi сторони однакової довжини.

(p q)

та

Якщо в трикутнику всi сторони однакової довжини, то всi кути рiвнi.

(p q)

Зверни увагу, що навiть якщо еквiвалентнiсть правильна, самi два твердження не обов’язково повиннi бути правильними. Iснують трикутники, якi не є рiвностороннiми. Еквiвалентнiсть означає, що якщо правильне одне твердження, то справджується й iнше твердження, й навпаки. Отже, якщо нам вiдомо, що трикутник рiвностороннiй, то ми також знаємо, що всi кути в ньому рiвнi, а якщо нам вiдомо, що в трикутнику всi кути рiвнi, то всi сторони повиннi бути однакової довжини.

Приклад 5

Якщо 2x = 4, то x = 2. Це означає, що

2x = 4 x = 2.

Але ми також знаємо, що якщо f x = 2, то 2x = 4. Це означає, що

2x = 4 x = 2.

Оскiльки цi логiчнi наслiдки справджуються в обидвох напрямках, твердження еквiвалентнi, й ми записуємо

2x = 4 x = 2.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Що таке математичне доведення?
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Що таке пряме доведення?

Які відмінності між логічним наслідком та еквівалентністю?

Значок чисел і величинЧисла та величини
Значок алгебриАлгебра
Значок геометріїГеометрія
Значок статистики та теорії ймовірностейСтатистика та ймовірність
Значок функційФункції
Значок доведеньДоведення