Що таке тригонометрична форма запису комплексних чисел?

Використовуючи алгебраїчну форму запису, записуємо комплекснi числа у виглядi $z=a+bi$, що вiдповiдає координатам $\left(a,b\right)$. Натомiсть можна виразити комплексне число $z$ як вiдстань $r$ вiд початку координат до $z$ та кут $𝜃$, утворений $z$ i дiйсною вiссю на комплекснiй площинi. Це називається тригонометричною формою запису комплексних чисел. Щоб дiзнатися, як перетворити алгебраїчну форму на тригонометричну форму, клацни тут.

Вiдстань вiд $z$ до початку координат називається нормою числа $z$ й часто позначається $r$ або $\left|z\right|$. Норму також називають абсолютним значенням, модулем i довжиною. Кут, утворений $z$ i дiйсною вiссю, називається аргументом числа $z$ i часто позначається $𝜃$ чи $\varphi$. Можна розглядати аргумент $𝜃$ як напрямок числа $z$.

Алгебраїчна форма запису $z=a+bi$ та тригонометрична форма запису $z=\left(r,𝜃\right)$ є еквiвалентними способами запису одного й того самого комплексного числа $z$. Тригонометрична форма запису $\left(r,𝜃\right)$ вiдповiдає одному унiкальному числу $z$. Проте немає єдиної унiкальної тригонометричної форми запису комплексного числа $z$. Кути $𝜃$ та $𝜃+2\pi \cdot k$ для цiлих чисел $k\in \mathbb{Z}$, спрямованi в одному напрямку. Отже, тригонометричнi форми запису $\left(r,𝜃\right)$ та $\left(r,𝜃+2\pi \cdot k\right)$ вiдповiдають одному й тому самому комплексному числу $z$ для всiх цiлих чисел $k$. Зазвичай ми бажаємо, щоб аргумент знаходився в iнтервалi $\left[0,2\pi \right)$ або в iнтервалi $\left(-\pi ,\pi \right]$, проте аргументи, якi вiдрiзняються на кратне $2\pi$, все одно вiдповiдатимуть одному й тому самому числу.

Самi собою комплекснi числа впорядкувати неможливо, але в тригонометричнiй формi можна порiвняти норми чисел. Наприклад, $z=\left(5,\frac{\pi }{3}\right)$ бiльше, нiж $w=\left(2,\frac{\pi }{6}\right)$, тому що норма $z$ бiльша, нiж норма $w$.