Нескінченний геометричний ряд і збіжність

Нескiнченний геометричний ряд має нескiнченну кiлькiсть членiв:

a_{1} + a_{1} k + a_{1} k^{2} + \dots + a_{1} k^{n} + \dots

Сума ряду збiгається до певного числа, якщо спiввiдношення $k$ є числом вiд $- 1$ до $1$ . У цьому разi сума

S = \frac{a_{1}}{1 - k} .

Приклад 1

Мультимiльйонер на пенсiї започаткувув благодiйний фонд з метою надання довiчної щорiчної стипендiї в розмiрi $$ 5000$ студентам, якi продемонструють суттєвi успiхи в математицi. Кошти зараховуються на ощадний рахунок з рiчною вiдсотковою ставкою $3.5 %$ . Яку суму грошей потрiбно зарахувати на цей рахунок?

Поточнi значення рiчних виплат студенту-математику утворюють нескiнченний геометричний ряд

\frac{5000}{1.035} + \frac{5000}{1.03 5^{2}} + \frac{5000}{1.03 5^{3}} + \dots,

де $k = \frac{1}{1.035}$ , а $a_{1} = \frac{5000}{1.035}$ . Ми знаємо, що ряд є збiжним, оскiльки $k$ знаходиться мiж $- 1$ i $1$ . Потрiбно знайти суму нескiнченного геометричного ряду, щоб з’ясувати, яку початкову суму коштiв потрiбно внести на банкiвський рахунок:

\begin{array}{l} S & = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{\frac{50 000}{1.035}}{1 - \frac{1}{1.035}} \\ \approx 142 857.14 $ . \end{array}

S = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{\frac{50 000}{1.035}}{1 - \frac{1}{1.035}} \approx 142 857.14 $ .

Отже, невiдомому мультимiльйонеровi доведеться внести на рахунок

142 857.14

Якщо спiввiдношення $k$ є функцiєю вiд $x$ , область збiжностi має вигляд $- 1 < k (x) < 1$ . Тодi для знаходження областi збiжностi можна розв’язати нерiвнiсть

| k (x) | < 1

або

k {(x)}^{2} < 1 .

Обидва способи дадуть той самий результат.

Правило

Область збiжностi

Якщо спiввiдношення $k$ є функцiєю вiд $x$ , то область збiжностi має вигляд $- 1 < k (x) < 1$ . Тодi знаходимо область збiжностi, розв’язавши нерiвнiсть

k {(x)}^{2} < 1 .

Приклад 2

Варiант 1. Розв’язування за допомогою двох нерiвностей

Дано геометричний ряд iз спiввiдношенням $k (x) = 2 x + 3$ . Знайди область збiжностi ряду.

Для початку складаємо нерiвнiсть:

| k (x) | = | 2 x + 3 | < 1

Це абсолютне значення, тому дiлимо його на двi нерiвностi. Розв’язуємо їх окремо i застосовуємо дiаграму знакiв для знаходження шуканого промiжка.

\begin{array}{l} 2 x + 3 & < 1 \\ 2 x & < - 2 \\ x & < - 1 \\ - (2 x + 3) & < 1 \\ - 2 x - 3 & < 1 \\ - 2 x & < 4 \\ x & > - 2 \end{array}

\begin{array}{l} 2 x + 3 & < 1 & - (2 x + 3) & < 1 \\ 2 x & < - 2 & - 2 x - 3 & < 1 \\ x & < - 1 & - 2 x & < 4 \\ x & > - 2 \end{array}

Креслимо знаковi прямi для нерiвностей. Щоб знайти розв’язок, шукаємо область, у якiй обидвi нерiвностi є iстинними. У цiй областi збiгається нескiнченний геометричний ряд.

Дiаграма знакiв для знаходження областi збiжностi