Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Що таке пряме доведення?


Теорiя

Пряме доведення

Коли ми бажаємо довести, що

p q,

то маємо здiйснити доведення шляхом наведення аргументiв, якi слiдують один з одного, щоб отримати

p q.

У разi прямого доведення передбачається побудова логiчного ланцюжка мiркувань. Починаємо з p. З твердження p має слiдувати щось, з чого слiдує щось ще, й так далi, доки ми в кiнцевому пiдсумку не отримаємо q, де q — це те, що, як ми мали довести, слiдує з p.

Приклад 1

Доведи, що якщо aпарне число, а bнепарне число, то a + b — непарне число.

Виконуючи доведення, доцiльно скласти вираз, з яким можна працювати. У цьому прикладi треба скласти вирази для a та b. Оскiльки a — це парне число, його можна записати як a = 2n, де n — цiле число. Число b — непарне число, тому його можна записати як b = 2m + 1, де m — цiле число. Можна вставити цi вирази у вираз a + b, отримавши a + b = 2n + (2m + 1) = 2n + 2m + 1 = 2 (n + m) + 1 = 2k + 1,

де k = n + m — цiле число, тому a + b = 2k + 1 — непарне число, що й треба було довести.

Q.E.D

Приклад 2

Доведи, що p2 + p завжди дiлиться на 2

Нам вiдомо, що всi парнi числа можна розкласти на парний множник. Це правда, тому що всi парнi числа можна подiлити на 2, що слiдує з визначення парних чисел.

Отже, тепер ми бачимо, що можна розкласти на множники p2 + p як p (p + 1). Пiсля цього ми бачимо, що p й p + 1 — це два цiлi числа, якi йдуть один за одним на прямiй iз дiйсними числами (наприклад, 3 та 4, 4 та 5). Тепер можна стверджувати, що незалежно вiд того, яким числом є p, один iз двох множникiв — це парне число, оскiльки кожне друге цiле число в ряду дiйсних чисел парне.

Якщо p = 2k — парне число, то p + 1 = 2k + 1 — це непарне число. Якщо p = 2k + 1 — непарне число, то пiдставмо цей вираз для p в p + 1. Отримаємо

p + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 2 (k + 1) = 2l,

p + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 2 (k + 1) = 2l,

де l = k + 1 — парне число. Нарештi нам вiдомо, що оскiльки p2 + p завжди можна розкласти на множник, який дiлиться на 2, то сам вираз також дiлиться на 2.

З математичного погляду це доведення має такий вигляд, як показано нижче, де ланцюжок аргументiв будується з використанням логiчних наслiдкiв:

p2 + p = p (p + 1) p2 + p можна розкласти на множник, який — парне число p2 + p — парне число та отже, дiлиться на 2

p2 + p = p (p + 1) p2 + p можна розкласти на парний множник p2 + p — парне число й тому дiлиться на 2, що й треба було довести.

Q.E.D

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Які відмінності між логічним наслідком та еквівалентністю?
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Що таке доведення протиставленням?