Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Що таке доведення протиставленням?


Доведення протиставленням ґрунтується на тому фактi, що p q означає достеменно те саме, що й (не q) (не p). Це легше побачити на прикладi:

Приклад 1

Якщо йшов дощ, то земля мокра.

Це твердження

p q,

де p = «йшов дощ», а q = «земля мокра». Тодi твердження

(не q) (не p)

буде таким:

Якщо земля не мокра, значить, дощу не було.

Бачимо, що цi два речення логiчно виражають те саме, але двома рiзними способами. (Iнакше кажучи: вони еквiвалентнi.) В обидвох йдеться, що не може одночасно йти дощ i земля не може бути не мокрою.

Теорiя

Протиставлення

(не q) (не p) є протиставленням логiчного наслiдку p q.

Повiльно прочитай абзац:
p q та (не q) (не p) еквiвалентнi. Це означає, що якщо зможемо довести, що (не q) (не p), то також буде доведено, що p q. Це корисно, тому що iнколи легше довести, що (не q) (не p), нiж p q.

Теорiя

Доведення протиставленням

Щоб довести, що p q, достатньо довести, що

(не q) (не p).

Отже, з (не q) слiдує (не p).

Використовуючи метод доведення протиставленням, потрiбно скласти логiчний ланцюжок. Починаємо з (не q). Iз твердження (не q) має слiдувати щось, iз чого знов-таки слiдує щось iнше, й так далi, доки в кiнцевому пiдсумку не отримаємо (не p), де (не p) — це те, що, як ми мали довести, слiдує з (не q).

Приклад 2

Розгляньмо цей метод доведення на прикладi родинних зв’язкiв Девiда Бекхема та Бруклiна Бекхема:

З того, що Бруклiн — син Девiда, слiдує, що Девiд — батько Бруклiна.

p q

Можна переписати це твердження й стверджувати щось, що, як i ранiше, правильне за логiкою (ми знаємо, що це неiнформативно):

З того, що Девiд — не батько Бруклiна, слiдує, що Бруклiн — не син Девiда.

(не q) (не p)

Твердження правильне за логiкою, тому що, якби Девiд не був батьком Бруклiна, то й Бруклiн не був би сином Девiда.

Приклад 3

Доведи, що квадратний корiньiррацiонального числа є iррацiональним числом.

У цьому завданнi треба показати, що якщо число a є iррацiональним, то число a також iррацiональне. Треба показати логiчний наслiдок. Наслiдок, який потрiбно продемонструвати, це p q, де p = «a iррацiональне число», а q = «a рацiональне число». Протиставленням є (не q) (не p), або, iнакше кажучи,

a — не iррацiональне число a — не iррацiональне число

Оскiльки «не iррацiональне число» — це те саме, що сказати, що його «можна записати у виглядi дробу», можна почати з логiчного наслiдку «a можна записати у виглядi дробу», а потiм спробувати показати, що a можна записати у виглядi дробу. Якщо ми зможемо це зробити, доведення буде завершене.

Запиши свiй логiчний наслiдок як рiвняння a = p q. Треба показати, що a є дробом, пiсля чого пiднести до квадрата обидва боки. Тодi ми отримаємо a по один бiк й дрiб по iнший бiк. Це означає, що ми показали, що a не є iррацiональним числом. Це те саме, що й протиставлення (не p). Ми показали, що

(не q) (не p).

Математично можна записати мiркування таким чином: Припустiмо, що

a = p q, де p та q – цiлi числа.

a = p q, де p та q – цiлi числа.

Добудьмо квадратний корiнь по обидва боки та отримаймо
a = p2 q2.

Це показує, що a можна записати у виглядi дробу, тому a не є iррацiональним числом. Ми показали, що a не є iррацiональним числом a = p q a = p2 q2 a не є iррацiональним числом,

що є протиставленням того, що ми хотiли показати, а саме, якщо a — iррацiональне число, то a має бути iррацiональним числом, що й треба було довести.

Q.E.D

Причина, через яку доведення протиставленням часто використовується, коли ми виконуємо доведення з iррацiональними числами, полягає в тому, що замiсть того, щоб працювати з такими твердженнями, як «a — iррацiональне число», можна працювати з такими твердженнями, як «a — не iррацiональне число». З ними набагато простiше мати справу, тому що числа, яке не є iррацiональними, можна зобразити у виглядi дробу.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Що таке пряме доведення?
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Що таке метод математичної індукції?