Як знайти логістичне зростання на основі ємності середовища

Ємнiсть середовища $K$ — це максимальна чисельнiсть популяцiї певної групи в регiонi. Логiстичне зростання вiдбувається, якщо коефiцiєнт зростання $N^{'}$ пропорцiйний чисельностi популяцiї як такiй $N$ , а також пропорцiйний рiзницi мiж чисельнiстю $N$ та ємнiстю середовища $K$ . Отже, логiстичне зростання можна записати у виглядi диференцiального рiвняння з вiдокремленими змiнними. Диференцiальне рiвняння має такий вигляд:

N^{'} = k \cdot N \cdot (K - N) .

Загальний розв’язок задається за формулою:

N = \frac{K}{C e^{- K k t} + 1} .

Якщо потрiбно розв’язати iнтеграл, у пригодi стане таке рiвняння:

\begin{array}{l} \int \frac{1}{N \cdot (K - N)} d N \\ = & \frac{1}{K} \cdot \ln \frac{N}{K - N} + C, 0 < N (0) < K . \end{array}

\begin{array}{l} \int \frac{1}{N \cdot (K - N)} d N = \frac{1}{K} \cdot \ln \frac{N}{K - N} + C, 0 < N (0) < K . \end{array}

Приклад 1

Початкова кiлькiсть бактерiй у резервуарi з забрудненою питною водою становила 800. Протягом першої години кiлькiсть бактерiй зросла на 320. Припустимо, що кiлькiсть бактерiй вiдповiдає моделi логiстичного зростання, i що ємнiсть середовища становить 7500.

Нехай $N$ — це кiлькiсть бактерiй через $t$ годин. Знайди $k$ , визнач модель зростання i з’ясуй кiлькiсть бактерiй у резервуарi через 5 i 13 годин.

Як бачимо з тексту завдання, $N (0) = 800$ , $N^{'} = 320$ , $K = 7500$ . Щоб знайти $k$ , пiдставляємо значення у рiвняння i розв’язуємо для $k$ : $\begin{array}{l} 320 & = k \cdot 800 \cdot (7500 - 800) \\ k & = 0.000 06 \end{array}$

Тепер можна ввести $k$ прямо в диференцiальне рiвняння i розв’язати його, щоб визначити модель зростання:

N^{'} = 0.000 06 \cdot N \cdot (7500 - N)

Розв’язуємо диференцiальне рiвняння, ввiвши у формулу:

N = \frac{7500}{C e^{- 7500 \cdot 0.000 06 t} + 1} = \frac{7500}{C e^{- 0.4478 t} + 1}

Щоб знайти модель зростання у цьому випадку, потрiбно знайти $C$ . Iз тексту завдання знаємо, що початкова умова $N (0) = 800$ . Вводимо це значення у рiвняння для $N$ i отримуємо

\begin{array}{l} 800 = \frac{7500}{C e^{- 0.4478 \cdot 0} + 1} & = \frac{7500}{C + 1} | \cdot (C + 1) \\ 800 \cdot (C + 1) & = 7500 \\ 800 C + 800 & = 7500 \\ C = \frac{7500 - 800}{800} & = 8.375 \end{array}

Модель зростання має такий вигляд:

N (t) = \frac{7500}{8.375 e^{- 0.4478 t} + 1} .

Тепер можна знайти кiлькiсть бактерiй для $t = 5$ i $t = 13$ : $\begin{array}{l} N (5) & = \frac{7500}{8.375 e^{- 0.4478 \cdot 5} + 1} = 3963, \\ N (13) & = \frac{7500}{8.375 e^{- 0.4478 \cdot 13} + 1} = 7318 . \end{array}$

Кiлькiсть бактерiй через 5 i 13 годин становила 3963 i 7318, вiдповiдно.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як розв'язувати диференціальні рівняння методом інтегрувального множника

Повернутися