Як працює ланцюгове правило диференціювання?

Ланцюгове правило здається дещо складним у своїй теоретичнiй формi, але щойно зрозумiєш його логiку, його стає легко використовувати. Ланцюгове правило використовується для диференцiювання складених функцiй, якi є функцiями з iншою функцiєю замiсть аргумента.

Формула

Ланцюгове правило

{[f (g)]}^{'} = f^{'} (g) \cdot g^{'},

де $f (g) = f (g (x))$ i $g = g (x)$ . Похiдна складеної функцiї дорiвнює похiднiй зовнiшньої функцiї, помноженiй на похiдну внутрiшньої функцiї.

Ланцюгове правило використовується так:

1.: Визнач, яка функцiя внутрiшня, а яка — зовнiшня. Простiше кажучи, внутрiшня функцiя — це функцiя, яку можна закрити пальцем, а зовнiшня — це функцiя, яка залишається за межами твого пальця.
2.: Назви внутрiшню функцiю $g (x)$ . Пiд час диференцiювання все стає зрозумiлiшим, якщо записати просто $g$ замiсть $g (x)$ .
3.: Диференцiюй зовнiшню функцiю.
4.: Продиференцiюй внутрiшню функцiю.
5.: Помнож цi двi функцiї.
6.: Спрости вираз.

Приклад 1

Продиференцiюй функцiю $f (x) = {(2 x^{2} + 2 x + 4)}^{5}$

Закрий пальцем вираз у дужках. Як бачиш, зовнi лишається «5-й степiнь». А отже,

g = 2 x^{2} + 2 x + 4

— це внутрiшня функцiя, а ${(g)}^{5}$ — зовнiшня функцiя. Отримуємо $f (g) = {(g)}^{5}$ i $g = 2 x^{2} + 2 x + 4$ , i

\begin{array}{l} f^{'} (g) & = 5 {(g)}^{4} \\ g^{'} & = 4 x + 2 . \end{array}

Тодi отримуємо

{[f (g)]}^{'} = 5 {(g)}^{4} \cdot g^{'} = 5 {(2 x^{2} + 2 x + 4)}^{4} (4 x + 2) .

Приклад 2

Продиференцiюй функцiю $f (x) = e^{x^{3} + 2 x}$

Закрий пальцем вираз у показнику; зовнi лишається « $e$ ». Отже, $g = x^{3} + 2 x$ — це внутрiшня функцiя, а $e^{g}$ — зовнiшня функцiя. Це означає, що $f (g) = e^{g}$ i $g = x^{3} + 2 x$ , i

\begin{array}{l} f^{'} (g) & = e^{g} \\ g^{'} & = 3 x^{2} + 2 . \end{array}

Тодi отримуємо

\begin{array}{l} {[f (g)]}^{'} & = e^{g} \cdot g^{'} \\ = e^{x^{3} + 2 x} (3 x^{2} + 2) \\ = (3 x^{2} + 2) e^{x^{3} + 2 x} . \end{array}

Приклад 3

Продиференцiюй функцiю $f (x) = \ln (4 x^{2} - 3 x + 2)$

Закрий пальцем вираз у дужках; зовнi лишається $\ln (g)$ . Отже, $g = 4 x^{2} - 3 x + 2$ — це внутрiшня функцiя, а $\ln (g)$ — зовнiшня функцiя, i

\begin{array}{rcl} f^{'} (g) & = \frac{1}{g} \cdot g^{'} \\ g^{'} & = 8 x - 3 . \end{array}

Тодi отримуємо

\begin{array}{l} {[f (g)]}^{'} & = \frac{1}{g} \cdot g^{'} \\ = \frac{1}{4 x^{2} - 3 x + 2} \cdot (8 x - 3) \\ = \frac{8 x - 3}{4 x^{2} - 3 x + 2} . \end{array}

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Правила диференціювання для знаходження похідних

Наступна стаття

Як знайти похідні за допомогою правила добутку

Повернутися