Як застосовувати метод лінійки для лінійної оптимізації

Пункт 1

Спершу задаємо обмеження в текстi завдання у виглядi нерiвностей. Нехай $x$ — це кiлькiсть вироблених чоловiчих сорочок, а $y$ — кiлькiсть вироблених спiдниць. Кашемiр та шовк потрiбно розподiлити мiж сорочками та спiдницями. Отримуємо такi нерiвностi:

• Кiлькiсть сорочок, якi ми виробляємо, може становити 0 сорочок i бiльше. Отже,

  $$x\ge 0.$$

• Кiлькiсть спiдниць, якi ми виробляємо, може становити 0 спiдниць i бiльше. Отже,

  $$y\ge 0.$$

• Тепер складаємо нерiвнiсть для наявного кашемiру. На сорочку йде два вiдрiзи, а на спiдницю — один. Один рулон загалом вмiщує $200$ вiдрiзiв. Отримуємо

  $$2x+y\le 200.$$

• Потiм складаємо нерiвнiсть для наявного шовку. На сорочку йде один вiдрiз, а на спiдницю — три. Один рулон вмiщує $300$ вiдрiзiв шовку. Отримуємо

  $$x+3y\le 300.$$

У кiнцевому пiдсумку маємо систему нерiвностей:

$$\begin{array}{lll}\hfill x& \ge 0& \hfill \text{(1)}\\ \hfill y& \ge 0& \hfill \text{(2)}\\ \hfill 2x+y& \le 200& \hfill \text{(3)}\\ \hfill x+3y& \le 300& \hfill \text{(4)}\end{array}$$

Пункт 2

Тепер потрiбно розв’язати нерiвностi щодо $y$. Спочатку розв’язуємо нерiвнiсть (3):

$$\begin{array}{llll}\hfill 2x+y& \le 200& \hfill & \\ \hfill y& \le 200-2x& \hfill & \end{array}$$

Нерiвнiсть (4):

$$\begin{array}{llll}\hfill x+3y& \le 300& \hfill & \\ \hfill 3y& \le 300-x|:3& \hfill & \\ \hfill y& \le 100-\frac{1}{3}x& \hfill & \end{array}$$

З iншими двома нерiвностями нiчого робити не потрiбно.

Пункт  3 i 4

Зобразимо двi нерiвностi у виглядi графiкiв у системi координат i позначимо область, у якiй вони перетинаються. Як вiдомо, нас цiкавить лише перший квадрант, оскiльки i $x$, i $y$ бiльшi або дорiвнюють 0. Отримуємо таку фiгуру:

Пункт 5

Знаходимо для цiєї фiгури оптимальну точку. Як ми знаємо, це одна з точок у межах позначеної областi, в якiй графiки перетинаються мiж собою або перетинають осi. Якщо використовується метод лiнiйки, потрiбно знайти вираз для цiльової функцiї $Z(x,y)=Ax+By$. Як вiдомо, чоловiча сорочка коштує $$295$, а спiдниця коштує $$450$. Пiдставляємо цiни $A$ i $B$ у вираз i розв’язуємо для $y$. Отримуємо

$$\begin{array}{llll}\hfill Z(x,y)& =295x+450y& \hfill & \\ \hfill K& =295x+450y& \hfill & \\ \hfill 450y& =K-295x|:450& \hfill & \\ \hfill y& =\frac{K}{450}-\frac{295}{450}x& \hfill & \\ \hfill y& \approx -0.66x-\frac{K}{450}.& \hfill & \end{array}$$

Пункт 6

Через те, що член з $K$ (вiльний член) не грає ролi, коли ми виштовхуємо лiнiю назовнi першого квадранта, можна обрати для нього будь-яке значення. Доцiльно почати з вибору значення на осi $y$, яке перебуває в межах позначеної областi. На рисунку нижче вiльний член було обрано рiвним $80$. Функцiя має такий вигляд:

Помiщаємо лiнiйку на чорну лiнiю (лiнiя: $y=-0.66x+80$) i проводимо нею паралельно позначенiй областi. Зрештою опинимося в ситуацiї, коли край лiнiйки торкається позначеної областi лише в однiй точцi. Ця точка є точкою перетину мiж двома графiками або графiком i вiссю, i є оптимальною точкою.

Пункт 7

Зчитуємо координати точки i з’ясовуємо, що $B=\left(60,80\right)$. Це означає, що фабрицi потрiбно виробляти $60$ чоловiчих сорочок i $80$ спiдниць, щоб збiльшити свiй дохiд.

Пункт 8

Знаходимо дохiд фабрики в оптимальнiй точцi, пiдставивши значення $x$ i $y$, якi ми знайшли в Пункт 7, у цiльову функцiю. Це значення $x=60$, а $y=80$; отримуємо

$$Z(60,80)=295\cdot 60+450\cdot 80=53700.$$

Фабрика заробляє $$53700$, виробляючи $60$ чоловiчих сорочок i $80$ спiдниць. Це оптимальне виробництво, оскiльки пряма цiльової функцiї перетнула крайню точку позначеної областi.